Question

Una muestra de un compuesto tiende a evaporarse a temperatura ambiente, lo cual produce que su peso se afecte a medida que transcurre el tiempo de acuerdo con la expresión:
P(t)= 500/(21-e^(-0.1t) )
Donde P(t) es el peso del compuesto en gramos y t el tiempo en días.
Calcular:
El peso inicial de la muestra
El peso del compuesto a largo plazo


2.b. Continuidad
En un circuito eléctrico se necesita garantizar que la resistencia sea positiva y continua siempre. La resistencia del circuito está dado por la siguiente función:
R (T) = [at+2 si 0 < t ≤ 4 el
b-6ª si 4< t ≤ 8 el
t-2b si t>8

Donde R es la función resistencia que depende del tiempo. Determine los valores de a y b que hacen que la resistencia sea continua.

ayudaaa Gracias

Answer 1

1. La masa inicial de la muestra es de 25 gramos.

• La masa inicial se calcula en t=0

P(t)= 500/(21-e^(-0.1*0)  = 500/20 = 25 gramos

• El peso del compuesto a largo plazo  es para t→∞, tendiendo a infinito:

$\lim _{x\to \infty \:}\left(\frac{500}{21-e^{-0.1x}}\right)=\frac{500}{21}\quad$ = 23.8 gramos

2. La función R(t) es continua en t = 4 y t = 8 si se cumple que los valores de a y b son: $a=-\frac{20}{57}\\b=-\frac{86}{57}$

Una función R(t) es continua en un valor dado t = β si se cumple que:

$R(\beta )=\lim _{t\to \infty \:}\left R(t)$

Y que además los límites laterales existan.

Calculamos los límites laterales:

En t = 4

•  R(4) = a(4) + 2 = 4a + 2

• $\lim _{t\to - \:}\left at+2=4a+2$

$\lim _{t\to + \:}\left b+6a$

• Igualando los límites laterales:

4a+2 = b-6a

10a - b = -2

Realizamos lo mismo para en t = 8

• R(8) = b – 6a

• $\lim _{t\to - \:}\left at+2=b-6a$

$\lim _{t\to + \:}\left 8-2b$

• Igualando los límites laterales:

8 -2b = b-6a

3b - 6a = 8

Tenemos un sistema de ecuaciones:

10a - b = -2

3b - 6a = 8

Que despejando obtenemos:

$a=-\frac{20}{57}\\b=-\frac{86}{57}$