Respuestas
Explicación paso a paso:
∀ a,b ∈ R-{0} se cumple que a² > 0 y b² > 0 entonces
a² + b² > 0 si se suma en ambos miembros de la desigualdad, 2ab se
tiene
a² + 2ab + b² > 0 + 2ab ⇒ a² + 2ab + b² > 2ab
la expresión del primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, el cual puede ser expresado como el cuadrado de un binomio, entonces
2ab + b² = (a + b)² > 2ab ahora se multiplica por el factor 1/ab(a + b)
(1/ab(a + b)).(a + b)² > 2ab.(1/ab(a + b)) se simplifica
(a + b)/ab > 2/(a + b) si se distribuye el divisor ab con los términos del
numerador se llega a la expresión buscada
(a/ab) + (b/ab) ≥ 2/(a + b) ⇒ 1/b + 1/a ≥ 2/(a + b)
la afirmación ∀ a,b ∈ R : 1/a + 1/b > 2/(a + b) es falsa ya que esto no es cierto para a = 0 o b = 0.
cabe destacar que para a,b ∈ R⁻ se tiene que satisfacer que a>0 con b<0 o viceversa tal que |b|>|a| para que, entonces se cumple 1/a + 1/b > 2/(a + b) con a + b<0