Demostrar que los cuatro puntos (2,2), (5,6),(9,9) y (6,5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio ( se dividían mutuamente)
Respuestas
Los puntos proporcionados son los vértices de un rombo, porque sus lados son de igual longitud y son perpendiculares las diagonales y se cortan en el punto medio de cada una de ellas .
Puntos ( 2,2) ( 5,6 ) ( 9,9) (6,5)
Se calcula la distancia entre cada par de puntos :
d= √( y2-y1)²+ ( x2-x1)²
d = √( 5-2)²+ ( 6-2)² = √25 = 5
d = √( 9-6)²+ ( 9-5)² = √25 = 5
d = √( 6-2)²+ ( 5-2)² = √25 = 5
d = √( 9-5)²+ ( 6-3)²= √25 = 5
La longitud de los lados del cuadrilátero son iguales , por lo tanto es un rombo. Ver adjunto
Para demostrar que sus diagonales son perpendiculares :
se calcula la pendiente de las diagonales :
m = y2-y1 / x2-x1
m1 = ( 9-2)/ ( 9-2) = 1
m2= ( 6-5 ) /(5-6 ) = -1
Como m1*m2 = 1*(-1)= -1 son perpendiculares las diagonales
diagonal 1 : y -y1 = m*(x-x1)
y - 2 = 1* ( x-2 ) y = x
diagonal 2 : y -y1 = m*(x-x1 )
y - 6 = -1*( x- 5)
y = -x +11
Punto de intersección de las diagonales :
y = x
y = -x +11
x = -x +11
x = 11/2 ( 11/2 , 11/2)
PM D1 = ( 9+2 /2 , 9+2/2 ) = (11/2 , 11/2 )
PMD2= ( 5+6/2 , 6+5 /2 ) = ( 11/2 ,11/2 )
y = 11/2
