Desde lo alto de una torre se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento, calcular 1d .- la posición y velocidad de la piedra al cabo de 2s y de 4s después de su salida. 2d .- la velocidad cuando se encuentra a 8m por encima del punto de partida. 3.- ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Considérese g = 9.8 m/s
Respuestas
A ver vamos por pasos.
1) Se trata de un movimiento uniformemente acelerado (MUA) y además un tiro vertical, vamos a usar las ecuaciones.
rf=½at²+vot+ro [m]
vf=at+vo [m/s]
Donde
rf=posición final [m]
ro=posición inicial [m]
vf=velocidad final [m/s]
vo=velocidad inicial [m/s]
t=tiempo [s]
a=aceleración [m/s²]
Bueno vamos a empezar a resolver.
1d) Posición y velocidad de la piedra acabo de 2 [s] y 4 [s] después de su salida.
Datos:
t1=2 [s]
t2=4 [s]
a=-9.8 [m/s²]
vo= 10[m/s]
ro= 0 [m]
¿Por qué pongo la aceleración negativa?
¡Fácil! por qué se opone al movimiento; además tomé el sistema de referencia en donde inicial el lanzamiento.
Resolviendo
rf(2)=-½(9.8)(2)²+10(2)+0 [m]
rf(2)=-(9.8)(2)+20 [m]
rf(2)=0.4i [m]
Esa sería la posición a los 2 segundos, le puse "i" ya que nos piden la posición, y la posición es un vector, el "i" nos indica que está dirigido hacia el eje positivo de las "x".
rf(4)=-½(9.8)(4)²+10(4)+0 [m]
rf(4)=-½(9.8)(16)+40 [m]
rf(4)=-9.8(8)+40 [m]
rf(4)=-38.4i [m]
Esa sería la posición a los 4 segundos, igual le puse una "i" que indica que está orientado en el eje de las "x" pero el signo nos dice que ahora esta orientado al eje negativo de las "x", es decir que ya no va subiendo, ahora está bajando.
vf(2)=-9.8(2)+10 [m/s]
vf(2)=-19.6+10 [m/s]
vf(2)=-9.6i
Ese sería el valor de la velocidad al cabo de dos segundos del movimiento, ya explique por qué le pongo el "i".
vf(4)=-9.8(4)+10 [m/s]
vf(4)=-39.2 +10 [m/s]
vf(4)=-29.2i [m/s]
Ese sería el valor de la velocidad al cabo de cuatro segundos.
2d) La velocidad cuando la piedra se encuentra a 8 [m] por encima del punto de partida.
Para resolver esta parte hay que ser creativos, como sabemos que estará a 8 [m] la piedra lo que debemos hacer es igualar la función de posición a ese valor y despejar el tiempo, teniendo el tiempo podemos sustituir el valor en la función de velocidad y listo.
Datos:
rf=8 [m]
vo=10 [m/s]
ro=0 [m]
a=-9.8 [m/s²] (ya expliqué el signo)
t=no sabemos
vf=no sabemos
Resolviendo
rf=½at²+vot+ro [m]
8=-½(9.8)t²+10t+0 [m]
8=-4.9t²+10t [m]
0=-4.9t²+10t-8 [m]
0=4.9t²-10t+8 [m]
Nos queda una ecuación de segundo grado, y debemos resolverla, para ello debes usar la fórmula general.
Nota: Yo no lo haré ya que explicación tardaría muchísimo más, solo pondré los resultados.
Resultó algo poco usual en este tipo de problemas, las soluciones de la ecuación que nos queda son complejas, es decir que la ecuación no tiene una solución real y por lo tanto podemos concluir que nuestra piedra jamás va a llegar a "8[m]" por encima del punto de lanzamiento.
Podemos comprobar esto con la ecuación de altura máxima.
rmax=-vo²/2g [m]
rmax=-(10)²/2(-9.8) [m]
rmax=100/19.6 [m]
rmax=5.102 [m]
Como podemos ver la altura máxima es 5.102 metros mientras que la altura que nos piden en el porblema es de 8 metros por lo cual podemos concluír que la piedra jamás llegará a los "8[m]" de altura.
3d) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se lanzó hasta que vuelve a pasar por dicho punto?
Para resolver esto debemos de imaginarnos el movimiento, ¿qué pasa cuándo la piedra pasa por ese punto?, lo que sucede es que la posición de la piedra en ese momento será "0[m]" ya que tomamos como punto de referencia ese punto, podemos igualar la posición a cero y resolver, así encontramos el tiempo.
Datos
rf=0 [m]
ro=0 [m]
vo= 10[m/s]
a=-9.8 [m/s²]
t=no sabemos.
0=-½(9.8)t²+10t+0 [m]
0=-4.9t²+10t [m]
Nos queda una ecuación de segundo grado que debemos resolver de alguna forma, una de ellas es por la ecuación general de segundo grado o bien por factorización por término común.
0=t(-4.9t+10)
Ahora aplicamos el teorema del factor nulo.
t1=0
-4.9t+10=0
10=4.9t
t=10/4.9
t=2.04 [s]
t2=2.04 [s]
Encontramos dos tiempos, lo que nos quiere decir el tiempo t=0 es que justo antes de iniciar el movimiento la posición es cero. Lo que nos dice t=2.04 es precisamente lo que nos piden en el problema, y es que le toma 2.04 segundos en subir y luego bajar al mismo punto de partida.
Esas serían las respuestas. Espero haberte ayudado.