Question

1 El vector de posición de una partícula es r = (4t² - 1)i + (t² + 3)j (en unidades del S.I.):
a) Deduce las expresiones de los vectores velocidad y aceleración.
b) Calcular la velocidad media entre los instantes 2s y 5s
c) Calcula la velocidad y aceleración en el instante 1 s.

Answer 1

Las expresiones de la velocidad y la aceleración se pueden obtener de la expresión del vector posición.

El vector posición es:

r = (4$t^{2}-1$)i + ($t^{2}+3$)j

a)Para deducir las expresiones de los vectores velocidad y aceleración derivamos una y dos veces respectivamente con respecto al tiempo.

Vector velocidad

r' = (2*4$t^{2-1}$)i + (2$t^{2-1}$ + 3)j

r' = (8t)i + (2t)j

El vector velocidad es v = (8t)i + (2t)j

Vector aceleración

v' = 8i + 2j

El vector aceleración es a = 8i + 2j

b)La velocidad media se calcula de la siguiente manera:

$V_{m}$ = $\frac{PosicionFinal-PosicionInicial}{TiempoFinal-TiempoInicial}$

Calculamos la posición final:

r(t=5 s) = (4$5^{2}-1$)i + ($5^{2}+3$)j = 99i + 28j

Calculamos la posición inicial:

r(t=2 s) = (4$2^{2}-1$)i + ($2^{2}+3$)j = 15i + 7j

Calculamos la velocidad media:

$V_{m}$ = $\frac{99i + 28j - (15i + 7j)}{5 s - 2 s}$

$V_{m}$ = $\frac{84i + 21j}{3 s}$

$V_{m}$ = 28i + 7j

La velocidad media entre los instantes 2 segundos y 5 segundos es de 28i + 7j (m/s)

c)Para hallar la velocidad y aceleración en el instante 1 segundo, sustituimos el valor de 1 en la incógnita t del vector velocidad y aceleración:

v(t=1 s) = (8*1)i + (2*1)j = 8i + 2j

a(t=1 s) = 8i + 2j

La velocidad en el tiempo 1 segundo es 8i + 2j y la aceleración en el tiempo 1 segundo es 8i + 2j