Question

Calcula la parte real de

$\frac{ \overline{z}}{1 + z}$
Ayúdenme por favor, no entiendo este tema :(​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Números Complejos

$\textbf{Problema :}$

Encuentre la parte real del número complejo.

                                              $\dfrac{\overline{z}}{1+z^{2}}$

RESOLUCIÓN

Dado el número complejo $z = x + yi$ cuyo complejo conjugado $\overline{z} = x - yi$ Entonces.

                                              $\dfrac{x-yi}{1+(x+yi)^{2}}$

                                              $\dfrac{x-yi}{1+x^{2}-y^{2}+2xyi}$

Racionalizamos el número complejo.

                           $\dfrac{x-yi}{1+x^{2}-y^{2}+2xyi} \cdot \dfrac{1+x^{2}-y^{2}-2xyi}{1+x^{2}-y^{2}-2xyi}$

                          $\dfrac{(x-yi)(1+x^{2}-y^{2}-2xyi)}{(1+x^{2}-y^{2})^{2} - (2xyi)^{2}}$

                          $\dfrac{x+x^{3}-xy^{2}-2x^{2}yi -yi-x^{2}yi +y^{3}i -2xy^{2}}{1+x^{4}+y^{4} +2(1)(-y^{2}) +2(1)(x^{2}) +2(x^{2})(-y^{2}) +4x^{2} y^{2}}$

                          $\dfrac{x+x^{3}-3xy^{2}-3x^{2}yi -yi +y^{3}i}{1+x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} -2x^{2}y^{2} +4x^{2}y^{2}}$

                           $\dfrac{x+x^{3}-3xy^{2} +i(y^{3} -3x^{2}y-y)}{1+x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} -2x^{2}y^{2} +4x^{2}y^{2}}$

                           $\dfrac{x+x^{3}-3xy^{2} +i(y^{3} -3x^{2}y-y)}{1+x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}}$

Separando el denominador.

                           $\dfrac{x+x^{3}-3xy^{2}}{x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}+1} + i \dfrac{y^{3} -3x^{2}y-y}{x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}+1}$

Haciendo $a \equiv \dfrac{x+x^{3}-3xy^{2}}{x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}+1}$ y $b \equiv \dfrac{y^{3} -3x^{2}y-y}{x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}+1}$

El número complejo $z_{1} = a+bi$ es igual al número complejo $\dfrac{\overline{z}}{1+z^{2}}$ con $z = x+yi$, siendo la parte real $Re_{z_{1}} = a$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La parte real del n\'umero complejo es}\ \dfrac{x+x^{3}-3xy^{2}}{x^{4}+y^{4} -2y^{2} +2x^{2} +2x^{2}y^{2}+1}}$