Respuestas
La ecuación x⁴- 69x²+ 36 no tiene raíces exactas, por lo que no puede ser factorizada por el teorema del resto o del residuo, usando la regla de Ruffini.
Sin embargo, tiene una característica particular, y es que es una ecuación bicuadrada, de forma ax⁴- bx²+ c = 0, por lo que puede convertirse en ecuaciones cuadráticas de la forma ax²- bx + c = 0.
Este recurso nos permite hacer una factorización por tanteo de los factores que dividen al término independiente.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Sabemos que el término independiente de las dos ecuaciones cuadráticas debe ser 6, para obtener el 36 de la bicuadrada, y sumados nos da 12, por lo que para llegar a 69 necesitamos números que multiplicados den 81 (81 - 12 = 69), y ese es el 9.
Entonces, la ecuación x⁴- 69 x²+ 36 se puede factorizar así:
(x²- 9x + 6) (x²+ 9x + 6)