Question

Cuántas claves de 4 letras de identificación de una estación de radio se puede informar si la primera letra puede ser K o w y las repeticiones:
a) no se repiten
b) si se repiten
ayuda pliss necesito el ejercicio resuelto no se si es combinación o permutacion es para un trabajo q debo entregar mañana ....​

Answer 1

Tarea:

¿Cuántas claves de 4 letras de identificación de una estación de radio se puede informar si la primera letra puede ser K o W y las repeticiones:?  

a) no se repiten  

b) si se repiten

Respuesta:

a)   31.200 claves

b)   39.366 claves

Explicación paso a paso:

Antes que nada hay que dejar claro con cuántas letras estamos contando y según la Real Academia Española, se admiten 27 letras en el alfabeto español, obviamente sin contar los dígrafos.

Pasando a los dos casos a calcular tenemos:

a)  Las letras no se repiten, así que vamos a dejar FIJADA en el primer lugar la letra K y combinaremos las tres restantes tomando como 26 letras como número total a combinar puesto que la K la hemos dejado en el primer lugar.

También hay que tener en cuenta que no será la misma clave si cambiamos las letras de orden, es decir por ejemplo:

kbcd ... no será la misma clave que kadc  ya que son las mismas letras pero cambiadas de orden. Esto nos dice que SÍ importa el orden en que tomemos los elementos para distinguir entre una y otra clave.

Con todo eso claro estamos ante el modo combinatorio llamado VARIACIONES. (si no importara el orden, serían combinaciones) y se trata de:

VARIACIONES DE 26 (m) ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3 (n)

Acudo a la fórmula por factoriales:

$V_m^n=\dfrac{m!}{(m-n)!} \\ \\ V_{26}^3=\dfrac{26!}{(26-3)!}=\dfrac{26*25*24*23!}{23!} =26*25*24=15600$

Ese resultado hay que duplicarlo porque no hay que olvidar que la primera letra podía ser K o W, por tanto, para el caso en que sea W tendríamos el mismo resultado ofreciendo un total de:

15600×2 = 31.200 claves.

b) En este caso nos dice que las letras pueden repetirse y eso significa que  aunque dejemos fijada la K en el primer lugar, las restantes tres letras a combinar también incluirán esa letra, lo cual implica que habrá que contar con las 27 letras del abecedario y por tanto tendremos el modo combinatorio de:

VARIACIONES CON REPETICIÓN DE 27 ELEMENTOS

TOMADOS DE 3 EN 3

Su fórmula dice:   $VR_m^n=m^n$

Sustituyo por su valor...  $VR_{27} ^3=27^3=19683$

Igual que antes, hay que duplicar el resultado para contemplar el caso en que dejemos fijada la letra W y ofrece un total:

19683×2 = 39.366 claves.

Saludos.