Una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior, debe tener un volumen de 32,000 〖cm〗^3, Encuentra las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que ha de utilizarse
Respuestas
Las dimensiones de una caja abierta: La caja tiene base y tapa cuadrada de lado 30,15 cm y una altura de 35,18 cm
Optimización:
V = 32000cm³
Los datos para construir la caja son
L: Lado de la base cuadrada
H : Altura de la caja
Volumen de la caja cuadrada
V = L²*H
H = V/L²
Áreas laterales = 3 * (L*H + L*H + L*H+ L*H)
Áreas laterales = 3 * 4 L H
Áreas laterales = 12 L H
Áreas tapa = 2 L²
Áreas base = 5 L²
Total = 5 L² + 2 L²+ 12 L H
Total = 7 L² + 12 L H
Sustituimos H
Total = 7 L² + 12 L (V/L²)
Total = 7 L² + (12 V /L)
Derivamos e igualemos a cero para obtener las dimensiones mínimas:
14 L - (12V) (1/L²) = 0
14 L = (12V) / L²
14 L³ = 12 V
L³ = (12/14) V
L³= (6/7) V
L =∛ (6*32000 cm³ / 7)
L =30,15 cm
H = V / L²
H = 32000cm²/(30,15cm)²
H = 35,18 cm
La caja tiene base y tapa cuadrada de lado 30,15 cm y una altura de 38,18 cm