Question

ayuda explicando paso a paso el siguiente hipérbola 49(y−3) 2 −25(x+4) 2 =1225, encuentra el centro y los focos.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Hipérbola

$\textbf{Problema :}$

Explique paso a paso la siguiente hipérbola.

$49(y-3)^{2} - 25(x+4)^{2} = 1225$

RESOLUCIÓN

Una hipérbola con centro en $C_{(h;k)}$ y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados puede tener unas de estas dos ecuaciones.

$\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1$

$\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}} = 1$

En nuestro caso usaremos la segunda.

Dividimos por 1225 la primera ecuación e identificamos

$\dfrac{49(y-3)^{2}}{1225} - \dfrac{25(x+4)^{2}}{1225} = \dfrac{1225}{1225}$

$\dfrac{(y-3)^{2}}{25} - \dfrac{(x+4)^{2}}{49} = 1$

De donde el centro es $C_{(-4;3)}$ además $a = 5$ y $b = 7$. Con estos datos debemos hallar un parámetro $c$ del cual podemos obtener las coordenadas del Foco. Usando la siguiente fórmula $c^{2} = a^{2} + b^{2}\ \to\ c^{2} = 25+49\ \to\ c = \sqrt{74}$

Tenga en cuenta que el Foco se encuentra a una cierta distancia del centro, variando solo en la abscisa. Tal que así $F = (h \pm c\ ;\ k)$

Entonces las coordenadas de los respectivos focos son $F = (-4 \pm \sqrt{74}\ ;\ 3)$

RESPUESTA

$\boxed{C = (-4\ ;\ 3)}$

$\boxed{F = (-4 \pm \sqrt{74}\ ;\ 3)}$