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Suponga que x años después de su fundación en 1989, el total de afiliados a cierta asociación nacional de consumidores es
f(x) = 1/4(2x^3 - 45x^2 + 264x)
¿En qué momento, entre 1989 y 2003, tuvo la asociación el mayor número de miembros? ¿Cuántos eran los miembros en ese momento?
¿En qué momento, entre 1989 y 2003, tuvo la asociación el menor número de miembros? ¿Cuántos eran los miembros en ese momento?

Respuestas

Respuesta dada por: luismgalli
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Suponga que x años después de su fundación en 1989, el total de afiliados a cierta asociación nacional de consumidores es dada por la siguiente expresión:

f(x)= 1/4(2x ³ - 45x²+264x)

Criterio de la Primera y segunda derivada:

Para llevar la función a lineal la multiplicamos por 100

f(x)= 100/4(2x ³ - 45x²+264x)

f(x)= 25 (2x ³ - 45x²+264x)

f(x)=50x ³ - 1125x²+6600x

Derivamos:

f ' (x)= 150 x ² - 2250x + 6600

Igualamos a cero y obtenemos:

0 =  150 x ² - 2250x + 6600

Simplifiquemos dividiendo entre 150 toda la ecuación

0= x²-15x+44

Ecuación de segundo grado que resulta en

x₁ =4

x₂=11

Para saber si es  máximo o mínimo encuentra la segunda derivada y sustituye los valores que encontraste si es positivo es mínimo y si es negativo es máximo  

f ' (x)=  x²-15x+44

f''(x)= 2x - 15  

f''( 11)= 2(11) - 15= 7 es positivo entonces el 11 es mínimo  

f''(4)= 2(4) - 15 = -7 es negativo entonces 4 máximo  

a). ¿En qué momento, entre 1989 y 2003, tuvo la asociación el mayor número de miembros? ¿Cuántos eran los miembros en ese momento?

Entonces x =4   Diferencia entre 2003 y 1989

f(x)=50x ³ - 1125x²+6600x

f(4) = 50(4)³ – 1125(4)² + 6600(4)

f(4) = 3200-18000+26400

f(4)=11.600 afiliados  

b). ¿En qué momento, entre 1989 y 2003, tuvo la asociación el menor número de miembros? ¿Cuántos eran los miembros en ese momento?

Entonces x = 11

f(11) = 50(11)³ – 1125(11)² + 6600(11)

f(11) = 66550-136125+72600

f(11)=3025 afiliados  

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