Question

ejercicio 1: el término general de la sucesión -7, -1, 5, 11, 17, ..., es: f (n)

ejercicio 2: al efectuar la suma 9 + 16 + 23 + ... + 422 se obtiene:

Ejercicio 3: el número de términos de la sucesión: 7, 10, 13, 16.... Que deben sumarse para obtener 1515 es:

Answer 1

Es ... laboriosillo el ejercicio.

1) Se aprecia que cada término se calcula a partir de sumar 6 unidades al anterior por tanto es una progresión ARITMÉTICA donde tengo que a₁ = -7 ... y la diferencia (d) = 6

Con eso se acude a la fórmula del término general de progresiones geométricas que dice:
an = a₁ + (n-1) · d ... y sustituyendo los datos...
an = -7 + (n-1) · 6 = -7 +6n -6 = 6n-13  <----- ahí tienes el término general.

Para comprobarlo le das valores a "n" y se ve cómo se va formando la progresión:
Para n = 1 ... a₁ = 6·1 -13 = 6 -13 = -7
Para n = 2 ... a₂ = 6·2 -13 = 12 - 13 = -1
Para n = 3 ... a₃ = 6·3 -13 = 18 - 13 = 5 ... etc...
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2) Otra progresión aritmética y tengo estos datos:

⇒ el término a₁ = 9,
⇒ el valor de la diferencia entre términos d = 7
⇒ el término an = 422 (el último de la progresión) pero que no sé qué orden ocupa porque hay muchos términos intermedios y lo que me está pidiendo el ejercicio es LA SUMA DE TÉRMINOS (Sn) que tiene su propia fórmula que dice:

Sn = (a₁+an)·n / 2 ... y esta fórmula todavía no puedo usarla porque tengo dos incógnitas: (Sn) y (n).

Así que me toca buscar el término general de la progresión del mismo modo que he hecho con el primer ejercicio.

an = a₁+(n-1)·d = 9+(n-1)·7 = 9+7n-7 = 7n+2  <---- término general.

Como conozco an=422 ... lo sustituyo ahí y tengo...
422 = 7n+2 ... despejando "n"... n = 420 / 7 = 60
Es decir que la progresión tiene 60 términos.

Ahora sustituyo el valor de "n" en la otra fórmula...
Sn = (a₁+an)·n / 2 = (9+422)·60 / 2 = 431·30 = 12930 es la respuesta.
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c) Otra progresión aritmética y nos pide el NÚMERO DE TÉRMINOS de la progresión, luego nos pide "n". Veamos qué datos tenemos:

a₁ = 7
d = 3
Sn = 1515

Vuelvo a recurrir a la fórmula del término general:
an = a₁+(n-1)·d = 7+(n-1)·3 = 7+(n-1)·3 = 7+3n-3 = 3n+4 <--- término general

Ahora la otra fórmula, la de suma de términos:
Sn = (a₁+an)·n / 2 ... sustituyo los valores conocidos...
1515 = [(7+(3n+4)]·n / 2 ... resolviendo...
1515 = 11n + 3n² / 2 -----> 3030 = 11n + 3n² ----> 3n² +11n -3030 = 0

A resolver por fórmula general de resolución de ec. de 2º grado...
                      ________
             –b ± √ b² – 4ac
n₁,n₂  =  ▬▬▬▬▬▬▬
                       2a

n₁ = (-11+191) / 6 = 30
n₂ = (-11-191) / 6 = -33,66 decimal periódico puro y negativo, no nos vale como solución puesto que buscamos un número entero porque se trata del número de términos de la progresión, por tanto hay que quedarse con n₁ = 30 términos.

La respuesta es que deben sumarse los 30 primeros términos de la progresión dada para que resulte un total de 1515.

Saludos.