Question

7. Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de preparatoria no pase la prueba de escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes que se revisan en búsqueda de escoliosis, calcule la probabilidad de que

a) máximo 5 no pasen la prueba

b) entre 8 y 10 no pasen la prueba

Answer 1

La probabilidad de que máximo 5 no pasen la prueba es 0.2403346 y de que entre 8 y 10 no pasen la prueba 0.338116

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide conociendo la probabilidad de éxito p y de fracaso q, la probabilidad de que en una muestra de tamaño n tengamos "x" éxitos. Su ecuación es:

$P(X=x)=\frac{n!}{(n-x)!*x!} *p^{x} *q^{n-x}$

Este ejercicio tiene una distribución binomial, donde se considera un éxito no pasar la prueba, la probabilidad de éxito p = 0.004 y de fracaso q= 0.996,  y el tamaño de la muestra es n = 1875, usando la ecuación de distribución binomial tenemos que la función de probabilidad es:

$P(X=x)=\frac{1875!}{(1875-x)!*x!} *0.004^{x} *0.996^{1875-x}$

a) Máximo 5 no pasen la prueba: hay que calcular la probabilidad de X = 1,2,3,4,5 y sumarlas.

$P(X=1)=\frac{1875!}{(1875-1)!*1!} *0.004^{1} *0.996^{1875-1}$

$P(X=1)=\frac{1875*1874!}{(1874)!} *0.004*0.996^{1874}$

$P(X=1)=1875 *0.004*0.996^{1874}= 0.0041026$

$P(X=2)=\frac{1875!}{(1875-2)!*2!} *0.004^{2}*0.996^{1875-2}$

$P(X=2)=\frac{1875*1874*1873!}{(1873)!*2} *0.004^{2}*0.996^{1873}$

$P(X=2)=1756875*0.004^{2}*0.996^{1873}= 0.015438$

$P(X=3)=\frac{1875!}{(1875-3)!*3!} *0.004^{3}*0.996^{1875-3}$

$P(X=3)=\frac{1875*1874*1873*1872!}{(1872)!*6}*0.004^{3}*0.996^{1872}$

$P(X=3)=\frac{1875*1874*1873}{*6}*0.004^{3}*0.996^{1872}= 0.038709$

$P(X=4)=\frac{1875!}{(1875-4)!*4!} *0.004^{4}*0.996^{1875-4}$

$P(X=4)=\frac{1875*1874*1873*1872*1871!}{(1871)!*24} *0.004^{4}*0.996^{1871}$

$P(X=4)=\frac{1875*1874*1873*1872}{24} *0.004^{4}*0.996^{1871}= 0.072755$

$P(X=5)=\frac{1875!}{(1875-5)!*5!} *0.004^{5}*0.996^{1875-5}$

$P(X=5)=\frac{1875*1874*1873*1872*1871*1870!}{(1870)!*120} *0.004^{5}*0.996^{1870}$

$P(X=5)=\frac{1875*1874*1873*1872*1871}{120}*0.004^{5}*0.996^{1870}= 0.10933$

Ahora la probabilidad de que máximo 5 no pasen la prueba:

P(X≤5)= 0.0041026+0.015438+0.038709+0.072755+0.10933 = 0.2403346

b) Entre 8 y 10 no pasen la prueba: es calcular la probabilidad de x = 8,9,10 y sumarlas:

$P(X=8)=\frac{1875!}{(1867)!*8!} *0.004^{8}*0.996^{1875-8}$

$P(X=8)=\frac{1875!}{(1867)!*40320!}*0.004^{8}*0.996^{1867} = 0.1376$

$P(X=9)=\frac{1875!}{(1875-9)!*9!} *0.004^{9}*0.996^{1875-9}$

$P(X=9)=\frac{1875!}{(1866)!*362880} *0.004^{9}*0.996^{1866}= 0.1146$

$P(X=10)=\frac{1875!}{(1875-10)!*10!} *0.004^{10}*0.996^{1875-10}$

$P(X=10)=\frac{1875!}{(1865)!*10!} *0.004^{10}*0.996^{1865}= 0.085916$

Ahora la probabilidad de que entre 8 y 10 no pasen la prueba es:

P(8≤X≤10)= 0.1376+0.1146+0.085916= 0.338116