Question

ayuda urgente.
una torre se inclina 5 grados hacia el lado contrario al sol proyecta una sombra de 50 m cuando el ángulo de elevación del Astro es de 58 grados. ¿Cuál es la altura de la Torre?​

Answer 1

La altura de la torre inclinada es de aproximadamente 70.46 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Representamos la situación en un triángulo acutángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura de la torre inclinada, el lado AC (b) que equivale a la longitud de la sombra que proyecta la torre inclinada sobre la línea del suelo y el lado AB (c) que es la proyección visual con un ángulo de elevación al sol de 58°

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo acutángulo ABC

Denotamos al ángulo de elevación al sol dado por enunciado de 58° como α

$\large\boxed {\bold { \alpha = 58^o }}$

Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ  - para conocer la inclinación de la torre-

Donde dado que el enunciado no dice otra cosa, consideramos que la torre tiene un ángulo de inclinación hacia el oriente de 5° respecto a la vertical

Luego sucede que la torre con tal inclinación se aleja 5° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo

Por tanto:

Si la torre no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al inclinarse la torre en el sentido horario debemos restar la inclinación de 5° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°

Teniendo

$\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o -\ 5^o = 85^o }}$

Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β

Dado que la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°:

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 58^o+ 85^o + \beta }}$

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 58^o- 85^o }}$

$\large\boxed {\bold { \beta = 37 ^o }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos la altura de la torre inclinada

Hallando el valor del lado BC (a)

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ a }{ sen(58^o ) } = \frac{ 50 \ metros }{sen(37 ^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50\ metros \ . \ sen(58^o ) }{sen(37^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 50\ metros \ . \ 0.848048096156 }{0.601815023152 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 42.4024048078 }{0.601815023152 } \ metros}}$

$\boxed { \bold { a\approx 70.4575 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 70.46 \ metros }}$

La altura de la torre inclinada es de aproximadamente 70.46 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas