Respuestas
Depende el contexto con el que se utilice:
Pública viene del adjetivo público, lleva tilde porque es esdrújula y las esdrújulas siempre se acentúan
Publico viene de el verbo publicar, la silaba tonica es publico, es una palabra llana terminada en vocal, por lo tanto no se acentúa
Ej: la escuela pública de mi barrio
Ej: yo publico una foto en instagram
Respuesta:
Si te refieres a publico (verbo publicar en presente del pronombre yo) es por que es una palabra grave (acento/tilde en la penúltima sílaba), tiene acento en la sílaba "bli", o sea, que suena más fuerte. Así: pu-blí-co pero no se le pone la tilde, sólo se pronuncia (que en eso consiste el acento).
La palabra pública es una esdrújula (acento en la antepenúltima sílaba) por lo tanto, siempre debe tener tilde.