Question

Lim: cuando x tiende a 3 (x²-9)/(x³-27)

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\,\dfrac{x^2-9}{x^3-27}$

$\text{Es del tipo 0/0 , hay que levantar la indeterminaci\'on .}\\ \text{En el numerador se usa } \ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \\ \text{en el denominador se usa } \ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\displaystyle \lim_{ x\to 3}\, \frac{x^2-9}{x^3-27}=\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2-3^2}{x^3-3^3}\\[6pt] =\lim_{x\to 3}\,\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+3^2)} \\[6pt] \text{se simplifica el factor }\ (x-3) \\[6pt] =\lim_{x\to 3}\,\frac{x+3}{x^2+3x+9}\\[6pt] =\frac{3+3}{3^2+3(3)+9}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$

$\text{Por lo tanto :} \\[8pt] \displaystyle \boxed{\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2-9}{x^3-27}=\frac{2}{9}}$