Question

por que no hay maximo multiplo y minimo divisor​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: MCM & MCD

$\textbf{Problema :}$

Por qué no existe máximo común múltiplo y mínimo común divisor.

RESOLUCIÓN

Antes de entender porque no existe el máximo común múltiplo veamos con un ejemplo lo que significa múltiplo común de dos números.

Sean los múltiplos de los números 18 y 24 denotados con $\textrm{A}$ y $\textrm{B}$ respectivamente.

$\textrm{A} = \{ 18\ ;\ 36\ ;\ 54\ ;\ \boldsymbol{72}\ ;\ 90\ ;\ 108\ ;\ 126\ ;\ \boldsymbol{144}\ ;\ 162\ ;\ 180\ ;\ 198\ ;\ \boldsymbol{216} \ldots \}$

$\textrm{B} = \{ 24\ ;\ 48\ ;\ \boldsymbol{72}\ ;\ 96\ ;\ 120\ ;\ \boldsymbol{144}\ ;\ 168\ ;\ 192\ ;\ \boldsymbol{216} \ldots \}$

Los números resaltados vienen a ser los múltiplos comunes de 18 y 24, son llamados comunes porque estos números se encuentran en ambos conjuntos. Note que existe una cantidad infinita y cada vez mayor de múltiplos comunes para dos números, por este motivo es que no tiene sentido hablar de un máximo común múltiplo, porque no existe un máximo. En cambio si podemos hablar de un mínimo y en este ejemplo el mínimo común múltiplo es 72.

Ahora probemos un análisis similar para los divisores comunes, usemos los mismos números.

Sean los divisores de los números 18 y 24 denotados con $\textrm{A}$ y $\textrm{B}$ respectivamente.

$\textrm{A} = \{ \boldsymbol{1}\ ;\ \boldsymbol{2}\ ;\ \boldsymbol{3}\ ;\ \boldsymbol{6}\ ;\ 9\ ;\ 18 \}$

$\textrm{B} = \{ \boldsymbol{1}\ ;\ \boldsymbol{2}\ ;\ \boldsymbol{3}\ ;\ 4\ ;\ \boldsymbol{6}\ ;\ 8\ ;\ 12\ ;\ 24 \}$

Los divisores comunes de ambos números se encuentran resaltados veamos otro ejemplo.

Sean los divisores de los números 12 y 16 denotados con $\textrm{A}$ y $\textrm{B}$ respectivamente.

$\textrm{A} = \{ \boldsymbol{1}\ ;\ \boldsymbol{2}\ ;\ 3\ ;\ \boldsymbol{4}\ ;\ 6\ ;\ 12 \}$

$\textrm{B} = \{ \boldsymbol{1}\ ;\ \boldsymbol{2}\ ;\ \boldsymbol{4}\ ;\ 8\ ;\ 16 \}$

Notemos que para ambos casos se repite el $\boldsymbol{1}$ y siempre será así para cualquier conjunto de números que elijamos, debido a que la unidad es divisor de cualquier número entero positivo, en caso queramos mencionar el mínimo común divisor de un conjunto de números enteros positivos, la respuesta siempre será la unidad, ya que la unidad es el menor número entero positivo y al estar siempre presente este es el mínimo.

Como se puede observar se hace trivial hablar de mínimo común divisor, pero si es interesante hablar de máximo común divisor ya que este varia según el conjunto de números escogidos.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Carece de sentido mencionar de M\'aximo Com\'un M\'ultiplo}}$

$\boxed{\textrm{Es trivial mencionar M\'inimo Com\'un Divisor}}$