Question

como racionalizo esto ? $\frac{4}{1+\sqrt{3} }$

Answer 1

Para poder racionalizar un cociente así lo que se hace es multiplicar por su conjugado.

$\frac{4}{1 + \sqrt{3} }$

Si tenemos.

(a+b)

su conjugado sería

(a-b)

Si tenemos

(a-b)

su conjugado sería.

(a+b)

Cómo podemos notar lo que debemos hacer es cambiar el signo de enmedio.

Bueno resolviendo.

$( \frac{4}{1 + \sqrt{3} } )( \frac{1 - \sqrt{3} }{1 - \sqrt{3} } )$

Lo hacemos de esa forma ya que no podemos alterar la igualdad y multiplicando ese cociente aplicamos la regla del neutro multiplicativo, es decir múltiplicar por "1".

Ahora usamos los productos notables, específicamente el de binomios conjugados.

(a+b)(a-b)=a²-b²

Aplicamos.

$\frac{4(1 - \sqrt{3}) }{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3} ) }$

$\frac{4(1 - \sqrt{3}) }{ {(1)}^{2} - {( \sqrt{3}) }^{2} }$

$\frac{4(1 - \sqrt{3}) }{ 1 - 3 }$

$\frac{4(1 - \sqrt{3}) }{ - 2}$

$\frac{(2)(2)(1 - \sqrt{3}) }{ - 2}$

$( - 2)(1 - \sqrt{3} )$

$2 \sqrt{3} - 2$

Esa sería la respuesta, espero haberte ayudado.

Answer 2

Respuesta:

$-2+2\sqrt{3}$

Explicación paso a paso:

La idea es formar en el denominador un producto que se llama suma por diferencia, para así elevar los términos al cuadrado y eliminar la raíz:

Multiplicamos la fracción por el conjugado del denominador:

$\frac{4}{1+\sqrt{3}}*\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$

al haber formado con los denominadores una suma por diferencia, es decir  (a+b)(a-b)  obtenemos $a^{2}-b^{2}$ . Aplicamos y tenemos:

$\frac{4*(1-\sqrt{3})}{1^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{4(1-\sqrt{3})}{1-3}=\frac{4(1-\sqrt{3}}{-2}$

simplificamos y tenemos: $-2(1-\sqrt{3})$

$-2+2\sqrt{3}$