Question

Holaaaa necesito ayuda con una tarea de números complejos LO TENGO QUE PASAR A FORMA TRIGONOMETRICA,porfavor me podeian ayudar y explicar el xq de cada resultado asi entiendo el tema PLISSS

Answer 1

Para llevar una expresión compleja de forma binomial a trigonométrica resulta interesante primero analizar los términos de la expresión. Observando la figura adjunta se tiene entonces que:

$sen(\alpha)=\frac{PA}{OP}=\frac{b}{r} \rightarrow b=rsen(\alpha )$

$con(\alpha)=\frac{OA}{OP}=\frac{a}{r} \rightarrow a=rcos(\alpha )$

Luego,

$z=a+ib=rcos(\alpha )+isen(\alpha )$

Sabiendo que,

$r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2} }$

Nos faltaría conocer el valor del ángulo $(\alpha )$,

$\alpha=tan^{-1} (\frac{b}{a} ) \forall a>0$

$\alpha=tan^{-1} (\frac{b}{a} )+\pi \forall a<0$

Conociendo lo anterior resulta mucho más sencillo enfrentar los problemas propuestos:

a)      

$z_{1}=1+j\\|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2} }=\sqrt{2} \\ \alpha = tan^{-1} (\frac{1}{1} )=45 grados$

Por lo tanto,

$z=\sqrt{2}cos(45)+i\sqrt{2} sen(45)$

b)

$z_{2}=-2+j\\|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{5}\\\alpha = tan^{-1} (\frac{1}{-2} )+180=153,43 grados$

Por lo tanto,

$z=\sqrt{5}cos(153,43)+i\sqrt{5} sen(153,43)$

c)

$z_{3}=-1-i3\\|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{10}\\\alpha = tan^{-1} (\frac{-3}{-1} )-180=-108,43 grados$

Por lo tanto,

$z=\sqrt{10}cos(-108,43)+i\sqrt{10} sen(-108,43)$

d)

$z_{4}=\frac{1}{2}-i2\\|z|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(-2)^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\\ \alpha = tan^{-1} (\frac{-2}{0,5} )= -75,96 grados$

Por lo tanto,

$z=\frac{\sqrt{17}}{2}cos(-75,96)+i \frac{\sqrt{17}}{2} sen(-75,96)$

Recordar que los ángulos estan expresados en grados.