Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución n( 65, 18). se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿cuáles han de s er las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
Respuestas
Datos:
Se tiene X como la variable que expresa las puntuaciones que obtienen los individuos en el test.
Las puntuaciones siguen una distribución normal X--N(μ;σ) : N(65,18)
Solución
1. Para mayor facilidad de comprensión tomamos la distribución N y la estandarizamos, esto es N(0,1). Entonces la variable X la denotamos por Z:
Z= X - μ/σ (1)
donde:
σ=desviacion
μ=media
X= variable aleatoria
2. Luego, se hallan dos valores: Z1 y Z2
P(Z ≤ Z1) = 0,2 = P(Z ≥ -Z1)
⇒ 1 - P(Z ≤ -Z1) = 0,2
⇒P(Z ≤ -Z1) = 0,8
⇒ -Z1 = 0,84
⇒ Z1 = -0,84
P(Z ≥ Z2) = 0,15
⇒ 1 - P(Z ≤ Z2) = 0,15
⇒P(Z ≤ Z2) = 0,85
⇒ Z2 = 1,0
3. Para determinar los valores X1 y X2 despejamos en la fórmula (1):
⇒X1=18*Z1+65
⇒X1=49,88
⇒X2=18*Z2+65
⇒X1=83,72
4. Por lo tanto concluimos que las puntuaciones son:
- Excelente cultura: a partir de 84 puntos.
- Cultura aceptable: entre 50 y 83 puntos.
- Baja cultura: hasta 49 puntos.
⇒ -Z1 = 0,84
Las puntuaciones que van a marcar el paso de un grupo al otro son Q1= 47 y Q3 = 83.
Cálculo matemático de los Cuartiles que dividen a los grupos
- La desviación típica de la distribución es σ = 18.
- La media de la distribución es μ = 65.
El cuartil Q1 marcará el paso del primer al segundo grupo, y estará a una desviación típica por debajo de la media.
Q1 = μ - σ
Q1 = 65 - 18
Q1 = 47
El cuartil Q3 marcará el paso del segundo al tercer grupo, y estará a una desviación típica por encima de la media.
Q3 = μ + σ
Q3 = 65 + 18
Q3 = 83
Conoce más sobre el cálculo de un cuartil en:
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