Question

Un coche va del punto A a 108 km/h y va acelerando 1,5m/s2. En el mismo momento sale un coche del punto B a 126 km/h constantes. Si la distancia de A y B son 2,5 km calcula cuando se van a encontrar y en que posición .​

Answer 1

Respuesta:

El tiempo de encuentro es : $t=8,0151E^{-3} h$

La posición del vehículo A es: $x_{A} =1.49km$

La posición del vehículo B es: $x_{B} =1.01km$

Explicación:

Datos:

- Analizando los datos suministrados, se puede intuir que el móvil A lleva un M.R.U.A., por lo que a éste se le aplicarán las ecuaciones que representan éste movimiento. Es decir:

1. $v=v_{0} +a*t$
2. $x=x_{0} +v_{0} *t+\frac{1}{2} a*t^{2}$
3. $v^{2} = v_{0} ^{2}+2*a*(x-x_{0} )=v_{0} ^{2} +2*a*(d )$

- El móvil B describe un M.R.U., por tanto se le aplicará la ecuación que describe este movimiento. Es decir:

1. $v=\frac{d}{t}$

- Hay que verificar que todas las unidades se encuentren el mismo sistema de unidades. Notemos que la aceleración está expresado en $\frac{m}{s}$. Por lo que se debe transformar dicha unidad a $\frac{km}{h}$.

Operaciones previas y deducción de ecuaciones:

Primero debemos transformar las unidades de la aceleración en  $\frac{km}{h}$. Para ello, aplicamos una regla de tres:

Sabemos que:

$\frac{1km}{h^{2} } =\frac{1000m}{(3600s)^{2} }=\frac{1}{12960} \frac{m}{s^{2}}$

Así:

$\frac{1km}{h^{2} }$----------------------------->$\frac{1}{12960} \frac{m}{s^{2}}$

x <------------------------------------- $1,5 \frac{m}{s^{2}}$

]$x=1,5 \frac{m}{s^{2}}*\frac{1km}{h^{2}}/\frac{1}{12960} \frac{m}{s^{2}}=19440\frac{km}{h^{2}}$

Entonces,

$a=19440\frac{km}{h^{2}}$

Ahora, deducimos las ecuaciones que debemos utilizar. Observe el gráfico adjunto. Observe que la suma de la distancia recorrida por el móvil A, más la distancia recorrida por el móvil B, debe ser igual a la distancia total desde el punto A hasta el punto B. Es decir:

$x_{A} +x_{B}= 2,5km$

Por otro lado, como el móvil A se mueve en un M.R.U., se puede expresar lo siguiente:

$x_{A} =x_{A_{0} } +v_{A_{0}} *t+\frac{1}{2} *a*t^{2} =v_{A_{0}} *t+\frac{1}{2} *a*t^{2}$

Donde la posición inicial del móvil A es igual a 0, porque el movimiento inicia en el punto A.

Por otra parte, el móvil B se mueve con M.R.U., a través de la ecuación:

$x_{B} =V_{B}*t$.

Ahora, se sustituyen amabas ecuaciones en la primera ecuación y se despeja para $t$.

$v_{A_{0}} *t+\frac{1}{2} *a*t^{2}+V_{B}*t=2,5km$

$108*t+9720*t^{2} +126*t=2,5$

$9720*t^{2} +234*t=2,5$

Nos da una ecuación de segundo grado. Resolviendo:

$t_{1}=-3,2089*E^{-2} h$

$t_{2}=8,0151*E^{-3} h$

El valor positivo nos da el tiempo en el cuál ambos móviles se encuentran.

$t=8,0151E^{-3} h$

Ahora, podemos calcular el punto de encuentro, $x_{A}$ y $x_{B}$.

$x_{A} =v_{A_{0}} *t+\frac{1}{2} *a*t^{2}=108\frac{km}{h}*8,0151E^{-3}h+\frac{1}{2} *19440\frac{km}{h^{2}}*(8,0151E^{-3} h)^{2}$

$x_{A} =1.49km$

$x_{B} =V_{B}*t=126\frac{km}{h}*8,0151E^{-3} h$

$x_{B} =1.01km$

Answer 2

No se indica si el móvil B se aleja del A o se acerca.

Resuelvo los dos casos.

108 km/h = 30 m/s; 126 km/h = 35 m/s

1) Mismo sentido de las velocidades

Xa = 30 m/s t + 1/2 . 1,5 m/s² t²

Xb = 2500 m + 35 m/s t

A alcanza a B cuando sus posiciones son iguales. Omito las unidades

30 t + 0,75 t² = 2500 + 35 t; o bien;

0,75 t² - 5 t² - 2500 = 0; ecuación de segundo grado en t

Resulta t ≅ 61,2 s.

La otra solución es negativa.

La posición: Xa = 30 . 61,2 + 0,75 . 61,2² = 4645 m (desde A)

Verificamos: Xb = 2500 + 35 . 61,2 = 4642 m (desde A)

La diferencia se debe a la aproximación en el cálculo del tiempo.

2) Velocidades en sentido opuesto. (B se acerca hacia A)

Xa = 30 t + 0,75 t²

Xb = 2500 - 35 t

30 t + 0,75 t² = 2500 - 35 t

0,75 t² + 65 t - 2500 = 0

t ≅ 28,85 s

Xa = 30 . 28,85 + 0,75 . 28,85² ≅ 1490 m (desde A)

Xb = 2500 - 35 . 28,85 ≅ 1490 m (desde A)

Saludos Herminio