Question

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0; donde A ≠ 0

a) Es una parábola si E ≠ 0
b) Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0

Answer 1

a) Es una parábola si $E\neq 0$

Partiendo de la ecuación ordinaria de una parábola,

$(x-\beta )^{2} =4c(y-\alpha )$  

Desarrollamos,

$x^{2} -2x\beta +\beta ^{2} =4yc-4\alpha c$

$x^{2} -2x\beta -4yc+\beta ^{2} +4c\alpha =0$

Renombramos,

$D=-2\beta\\E=-4c\neq 0 \\F=\beta ^{2} +4c\alpha$

Se obtiene la ecuación general de la parábola,

$x^{2} +Ey+Dx+F=0$

b) Es una línea vertical si $E=0$ y $D^{2}-4AF=0$

Aplicamos la primera condición $E=0$. La expresión queda reducida a:

$Ax^{2} +DX+F=0$

Utilizamos la resolvente y obtenemos dos soluciones,

$x_{1} =\frac{-D+\sqrt{D^{2}-4AF} }{2A}\\x_{2} =\frac{-D-\sqrt{D^{2}-4AF} }{2A}$

Aplicamos la segunda condición donde: $D^{2}-4AF=0$ y resulta:

$x_{1} =\frac{-D}{2A}\\x_{2} =\frac{-D}{2A}$

Donde X1 y X2 son constantes y representan dos ecuaciones de recta vertical idénticas.