una pista tendrá forma de un rectángulo con dos semicirculos en cada extremo. El perimetro será de 400m.
a) Exprese el área interior de la pista en términos del radio de los semírculos.
b) Dibuje la representación grafica de la función anterior.
c) Encuentre las dimensiones de la pista de área de interior máxima
Respuestas
Área interior de la pista en términos del radio de los semírculos:
A = -17,43r² +400r
Las dimensiones de la pista de área de interior máxima:
r = 11,47 m; h = 2r; x = 8,03 m
Explicación paso a paso:
a) Exprese el área interior de la pista en términos del radio de los semírculos.
Perímetro de los semicírculos:
P = 2(πr+2r)
P = 4πr+4r
Perímetro del rectángulo:
P = 2*2r+2x
P = 4r+2x
400 = 4πr+4r + 4r+2x
400 = 4(3,1416)r +8r +2x
400-20,57r =2x
x = (400-20,57r)/2
Ahora:
Áreas de los semicírculos:
A= 2πr²/2
A= 3,1416r²
Área del rectángulo:
A = x*2r
A = [(400-20,57r)/2]*2r
A = 400r-20,57r²
Área interior de la pista en términos del radio de los semírculos:
A = 3,1416r² +400r-20,57r²
A = -17,43r² +400r
b) Dibuje la representación gráfica de la función anterior.
Ver adjunto
c) Las dimensiones de la pista de área de interior máxima:
Derivamos:
A´= -34,86r +400
A´= 0
34,86r = 400
r = 11,47
x= (400-20,57r)/2
x = 400-20,57(11,47)/2
x = 82,03 m
