Se ahorra cada año 4/5 de lo que ahorro el año anterior. Si el quinto año ahorro S/.10 240. ¿Cuánto ahorró después de cinco años?
Respuestas
Respuesta:
Se resuelve por progresiones geométricas (PG)
En estos ejercicios es muy importante saber trasladar los datos que te dan a los propios datos usados en una PG.
Sabrás que las PG se caracterizan por ser sucesiones de números o términos de la PG relacionados entre sí por una razón "r".
En tu caso, los términos de la PG son las cantidades que ahorra cada año.
El dinero que ahorró el primer año sería el primer término de la PG y lo desconocemos, sería el término a₁
El dinero que ahorra el 5º año sería el quinto término de la PG y nos dice que es a₅ = 10240
La razón de la PG es la relación entre términos consecutivos. En este ejercicio es 4/5 que es el número por el cual hay que multiplicar cada término para hallar el siguiente.
El nº de términos de la progresión para nuestro caso es 5, o sea:
n = 5
Así ya tenemos los datos necesarios para conocer el primer término a partir de la fórmula para obtener el término general de este tipo de progresiones:
a_n=a_1* r^{n-1}
Sustituyo los datos conocidos y despejo a₁ ...
a_5\ ...\ =10240=a_1*(\frac{4}{5} )^{5-1} \\ \\ 10240=a_1* \frac{4^4}{5^4} \\ \\ 10240*625=256*a_1 \\ \\ a_1= \frac{6400000}{256} =25000
El primer año ahorró 25.000
Sabiendo el valor del primer término, se recurre a la fórmula de la suma de términos de cualquier PG puesto que nos pide el total ahorrado en los 5 años, o sea que hay que sumar lo que ahorró en cada uno de ellos, es decir, hay que sumar los 5 términos y la fórmula dice:
S_n= \frac{a_n*r\ -\ a_1}{r-1}
Sustituyendo lo que se conoce...
S_5= \frac{10240* \frac{4}{5} \ -\ 25000}{ \frac{4}{5}- 1} \\ \\ S_5= \frac{8192-25000}{0,8-1} = \frac{-16808}{-0,2}= 84.040
La respuesta al ejercicio es S/.84.040
Explicación paso a paso: