Question

Hola chicos necesito ayuda con estas integrales
Me dijeron que tenía que ser por el método de integración por fracciones parciales....

Answer 1

Para resolver las integrales, se deben seguir los siguientes pasos:

Ejercicio 1: $\int \left(\sqrt{3x}+\frac{1}{\sqrt{5x}}\right)dx$

Por propiedades de integración sabemos que la integran de las sumas de funciones es la suma de las integrales como sigue:

$\int \sqrt{3x}dx+\int \frac{1}{\sqrt{5x}}dx$

Resolvemos por parte cada función y sumamos los resultados.

Parte 1: $\int \sqrt{3x}dx$ ⇒ $\sqrt{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ ⇒ $\frac{2}{\sqrt{3}}x^{\frac{3}{2}}$

Parte 2: $\int \frac{1}{\sqrt{5x}}dx$ ⇒ $\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}$ ⇒ $\frac{2}{\sqrt{5}}x^{\frac{1}{2}}$

Resultado: $\int \left(\sqrt{3x}+\frac{1}{\sqrt{5x}}\right)dx$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}x^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{\sqrt{5}}x^{\frac{1}{2}}+C$

Ejercicio 2: $\int {((x^{3}+x)*\sqrt{(x^{3}+3) }  }) \, dx$

Lo primero es simplificar el termino dentro de la integral como sigue:

$\int {(x^3\sqrt{x^3+3}}) \, dx +\int {(x\sqrt{x^3+3}}) \, dx$

Luego se puede intentar hacer un cambio de variable u aplicar otro método de integración.