Question

Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas

Answer 1

$\mathrm{\large{curvas:}}\begin{cases}-x^3+3x\Rightarrow verde\cr x^2\Rightarrow rojo\end{cases}$

$\mathrm{\large{Raiz:}}\begin{cases}f(x):x_1=-\sqrt{3} x_2= \sqrt{3}\cr g(x): \lbrace x_3= 0\rbrace \end$

$\mathrm{\large{Solución:}}$

primero planteamos la intercesión entre ambas curvan para determinar el intervalo de integración.

$-x^3+3x=x^2$ si se desarrolla salen las siguientes raíces:

$\begin{cases}x_4=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\cr x_3=0\cr x_5=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}$

voy hacer tres Integrales para no confundir:

Primera integral (área azul):

calculamos el área de la curva roja desde $x_4$ hasta $x_2$ y luego le restamos el área de la curva verde desde $x_4$ hasta $x_1$

área de curva roja:

$\displaystyle{\int_{x_4}^{x_3}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\bigg{|}_{x_4}^{x_3}}$

$\frac{1}{3}(0)^3-\frac{1}{3}\left(-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^3\Rightarrow \\ \frac{5+2\sqrt{13}}{3}$

el área de la curva verde:

$\displaystyle{\int_{x_4}^{x_1}\left(-x^3+3x\right)dx=-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2}$

$\left[-\frac{1}{4}\left(\sqrt{3}\right)^4+\frac{3}{2}\\left(\sqrt{2}\right)^2\right]-\left[-\frac{1}{4}\left(-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\left)^4+\frac{3}{2}\left(-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^2\right]$

Desarrollando se llega a $\frac{7+\sqrt{13}}{8}$

el área azul entonces es:

$\frac{5+2\sqrt{13}}{3}-\frac{7+\sqrt{13}}{8}=\frac{19+13\sqrt{13}}{24}$

el área violeta es el más fácil solo es la integral de la curva verde multiplicado por -1 desde

$x_4$ hasta $x_3$

$\displaystyle{\int_{x_4}^{x_3}-1\left(-x^3+3x\right)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{2}x^2}$

$\left[\frac{1}{4}(0)^4-\frac{3}{2}(0)^2\right]-\right[\frac{1}{4}\left(-\frac{1+\frac{13}}{2}\right)^4-\frac{3}{2}\left(-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)^2\\ \frac{11-\sqrt{13}}{8}$

el área naranja es la resta entre la curva verde y rojo desde $x_3$ hasta $x_5$

$\displaystyle{\int_{x_3}^{x_5}\left(-x^3+3x-x^2\right)dx=-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x^2}$

evaluando con barrow se llega a que es :

$\frac{73+13\sqrt{13}}{24}$

ahora el área comprendida entre las dos curvas es la suma del área naranja, violeta y azul.

$\frac{73+13\sqrt{13}}{24}+\frac{11-\sqrt{13}}{8}+\frac{19+13\sqrt{13}}{24}=\frac{125+23\sqrt{13}}{24}$