Carmen preparó limonada con 80% de agua y 20% de zumo de limón. Si
bebió el 20% de la limonada y reemplazó esa cantidad con agua, ¿qué porcentaje de la limonada corresponde a zumo de limón?
Respuestas
Utilizar la noción de proporcionalidad en problemas de mezclas. Expresar las razones de diferentes maneras:
mediante parejas de cantidades, número fraccionario y
porcentaje.
Organice al grupo en equipos para resolver la
lección. Además de las confrontaciones sugeridas en el
libro compare los resultados al término de la actividad 3 y al
final de la lección.
cantidades originales (6 pesos, 10 limones y 3 días) resultan
v
A diferencia de la actividad anterior, en la que
se analizan relaciones por separado entre dos cantidades (pesos con
pesos, limones con agua, días con días), aquí se
comparan dos relaciones (5 vasos de agua y 3 de jugo con 20 vasos de
agua y 8 de jugo), que a su vez relacionan dos cantidades cada una. Esa
comparación se plantea de dos maneras: en cantidades absolutas
(3 vasos de jugo con 8 vasos de jugo) donde la pregunta que se plantea
es: "¿dónde hay más jugo?". Pero también
hay una comparación de las dos relaciones entre sí; la
pregunta que se plantea en este caso es: "¿cuál de las
dos mezclas sabe más a jugo?" o bien, "¿en cuál
mezcla la proporción de jugo es mayor?". Responder la primera
pregunta es un problema muy simple para los alumnos de sexto grado,
pero la segunda pregunta es un verdadero reto que tratarán de
vencer al resolver esta lección y otras que aparecen más
adelante.
Deje que los equipos piensen y discutan hasta
encontrar una respuesta y pida que la expliquen. Entre los posibles
razonamientos que pueden hacer están los siguientes:
• En la naranjada A, la cantidad de vasos de jugo
es más que la mitad de vasos de agua, mientras que en la B, la
cantidad de vasos de jugo es menos que la mitad de vasos de agua. Por
lo tanto la naranjada A sabe más a naranja.
• 5 vasos de agua y 3 de jugo es la misma
relación que 20 vasos de agua y 12 de jugo, porque ambas
cantidades aumentan cuatro veces, así se ve que la naranjada A
contiene más jugo que la B por la misma cantidad de agua (20
vasos) como se muestra en las siguientes tablas.
• En la naranjada A, por cada vaso de agua hay 3/5
de vaso de jugo (3÷5 = 3/5), mientras que en la
B, por cada vaso de agua hay 8/20
(8÷20 = 8/20 = 4/10 = 2/5). Dado que 3/5 = 6/10, la
proporción de jugo es mayor en la naranjada A.
• En una mezcla de 8 vasos de naranjada A (5 de
agua y 3 de jugo) hay 3/8 de jugo, mientras que en 28 vasos de la
naranjada B (20 de agua y 8 de jugo) hay 8/28 = 4/14 = 2/7 de jugo.
Dado que 3/8 = 21/56 y 2/7 = 16/56, la proporción de jugo es
mayor en la naranjada A.
Los procedimientos anteriores pueden ser
utilizados por los alumnos. Si los usan y se les dificulta explicarlos,
ayúdeles, pero si no los utilizan no pretenda
enseñárselos pues poco a poco los usarán.
Con esta actividad se intenta evidenciar la
relación proporcional que existe entre la cantidad de mezcla
(vasos de naranjada) y cada una de las cantidades que la forman (vasos
de agua y de jugo). Pida que lean el primer problema y después
que completen la tabla; mientras trabajan, copie la tabla en el
pizarrón con las cantidades conocidas. Cuando los equipos
terminen, pregunte a alguien los resultados del último
renglón y anótelos en el pizarrón. Si hay
desacuerdo favorezca la argumentación, si no, continúe
con los demás renglones. Es probable que la dificultad
más fuerte esté en el primer renglón, ya que para
hacer un vaso de naranjada se necesita una fracción de vaso de
jugo (2/5) y otra fracción de vaso de agua (3/5) y no vasos
completos.
Al completar la tabla se expresarán
relaciones de proporcionalidad tales como: 50 vasos de naranjada es 5
veces 10 vasos, entonces la cantidad de jugo y agua también
aumenta 5 veces. Esta misma reflexión sirve para el primer
renglón: 1 vaso de naranjada es la décima parte de 10
vasos, entonces la cantidad de jugo y agua también se reduce 10
veces, la décima parte de 4 es 4/10 = 0.4, y la décima
parte de 6 es 6/10 = 0.6; esto quiere decir que, en un vaso de
naranjada, 4/10 del vaso es jugo y 6/10 es agua. Ayúdelos a
comprobar, con los datos de otros renglones, que estas proporciones se
mantienen para cualquier cantidad de vasos de naranjada. Finalmente,
escriba en el pizarrón la relación original que aparece
en la tabla: en 10 vasos de naranjada hay 4 de jugo y 6 de agua. Pida
que expresen esta misma relación señalando la
proporción de jugo y agua que hay en la mezcla, primero mediante
fracciones y luego mediante porcentajes. Compruebe si han comprendido
que 2/5 de la mezcla es jugo y 3/5 es agua, o bien, que 40% de la
mezcla es jugo y 60% agua.