Hallar la longitud de la curva f(x)= x^{3/2} en el intervalo [5,8]. Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores la sección de la gráfica a la cual se le ha hallado la longitud.
Respuestas
La longitud de la curva f(x)= x^{3/2} evaluada en el intervalo cerrado [5,8] es S = ((8)(19)^(3/2) - 343) / 27 = 11,83528294141416 (Aproximadamente).
En matemáticas la longitud del arco de una curva también se le conoce como rectificación de esa curva. Este cálculo era particularmente engorroso en el caso de figuras irregulares. La llegada del cálculo integral vino a resolver esta dificultad. Así pues, el segmento de curva a medir se partía en segmentos rectos infinitamente pequeños y se les calculaba su longitud a cada uno de ellos. Finalmente, todos esas longitudes infinitesimales se sumaban y se obtenía un longitud muy aproximada a la longitud del segmento que se quería medir.
De manera tal que, el cálculo de longitudes de curvas es otra de las aplicaciones de las integrales. Según la teoría, si una curva y su primera derivada son continuas en el intervalo [a,b], la longitud del arco determinado por esos dos puntos es
S = ∫(√(1 + f'(x)²)dx evaluada en el intervalo [a,b]
siendo f'(x): derivada de primer grado de la función
En nuestro caso
f(x) = √(x)³ con lo que f'(x) = (3/2)√x
Procedemos a hacer las sustituciones
S = ∫(√(1 + ((3/2)√x)²dx
S = ∫(√(1 + 9/4x)dx evaluada en los puntos X = 5 y x = 8
S = (8/27)√((9/4)x + 1)³ evaluada en los puntos X = 5 y x = 8
Luego de hacer las respectivas sustituciones y operar aritméticamente el resultado es S = ((8)(19)^{3/2} - 343) / 27 = 11,83528294141416 (Aproximadamente)
En el gráfico que se anexa, la longitud de arco calculada pertenece al segmento identificado como BD.
Mayor información sobre el cálculo de longitudes de arco mediante integrales en el enlace https://brainly.lat/tarea/8763775
