Question

El peso de cereal que contiene una caja se aproxima a una distribución normal con una media de 600 gramos. el proceso de llenado de las cajas está diseñado para que dé entre 100 cajas, el peso de una se encuentre fuera del intervalo 590-610 gramos. ¿cuál es el valor máximo de la desviación estándar para alcanzar este requerimiento

Answer 1

Este es el valor máximo de la desviación σ=3,876  

Explicación:

µ = 600  

σ = ?

Nos dicen que de cada 100 cajas solo 1 está fuera del intervalo, por lo que intervalo de confianza es de 99%

Es decir tenemos que la probabilidad debe ser mayor o igual que 0,99 para que solo una caja se quede fuera  

P(590<X<610)=?

z=(x-μ)/σ  

Z1=(590-600)/σ = -10/σ  

Z2=(610-600)/σ = 10/σ  

P(590<X<610) = P(-10/σ<X<10/σ)  

Es decir que  

P(590<X<610) = P(-10/σ<Z<10/σ)

La distribución Normal estandarizada es simétrica respecto al 0, tenemos que :

P(-10/σ<Z<10/σ) = P(-10/σ<Z<0) + P(0<Z<10/σ)  

Las dos probabilidades son iguales:

P(-10/σ<Z<0) = P(0<Z<10/σ)  

P(-10/σ<Z<10/σ) = P(0<Z<10/σ) + P(0<Z<10/σ) = 2*P(0<Z<10/σ)  

2*P(0<Z<10/σ)≥ 0,99  

P(0<Z<10/σ) ≥ 0,495  

Es decir que  

P(Z<10/σ) -P(Z<0) ≥ 0,495  

P(Z<10/σ) -0,5 ≥ 0,495  

P(Z<10/σ) ≥ 0,495+0.5  

P(Z<10/σ) ≥ 0.995  

El valor de la distribución Z que hace que la probabilidad acumulada sea mayor que 0,995 es según la tabla de distribución normal:

z ≥2,58  

10/σ ≥2,58  

10≥2,58σ  

10/2,58≥σ  

3,8760≥σ  

σ≤3,876  

Este es el valor máximo de la desviación σ=3,876  

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