Un alambre mide 100m. Se corta y se forma dos piezas, un cuadrado y un triángulo equilátero, no sobra alambre. ¿Cuáles son las dimensiones de las figuras geométricas que maximizan su área?
Respuestas
El área máxima se obtiene otorgando la longitud total del alambre para el cuadrado
Explicación:
Área de un cuadrado:
A = (x/4)²
A = x²/16
Área de un triangulo equilatero: todos sus lados iguales
A = L²√3/4
A = √3/4*[(100-x)/3]²
Entonces:
Sumamos las áreas:
A = x²/16 +√3/4*[(100-x)/3]²
A = x²/16 +√3/4 (100-x)²/9
A(x) = 1/16x² +√3*36 (100-x)²
Dominio:
0≤x≤100
Derivando:
A´(x) = 1/8x+√3/18* (100-x)(-1)
A´(X) = x/8 -√3(100-x)/18
A´(X) = x/4 -√3(100-x)/9
Puntos críticos:
A´(x) = 0
0= x/4 -√3(100-x)/9
9x= 4√3(100-x)
9x = 400√3 -4√3x
9x+4√3x = 400√3
x (9+4√3) = 400√3
x = 400√3/9+4√3
x = 43,5 m
¿Cuáles son las dimensiones de las figuras geométricas que maximizan su área?
x A(x) = x²/16 +√3*36(100-x)²
0 48,10m²
43,5m 27,20m²
100 m 62,5m²
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