Question

los siguientes vectores W=15i-12j+9k y P=5i+4j+3k ¿son colineales?

Answer 1

Dos vectores son colineales (es decir que están sobre la misma recta) si su producto cruz es igual a cero.

$A \times B = (0,0,0)$

Ahora vamos a encontrar su producto cruz.

El producto cruz es un determinante.

Consideremos dos vectores.

$A = (a_{x},a_{y},a_{z}) \\ B=</p><p>(b_{x},b_{y},b_{z})$

Entonces su producto cruz es igual a.

$A \times B = \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>i &j&k\\</p><p></p><p>a_{x}& a_{y}& a_{z} \\ b_{x}& b_{y}& b_{z}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right|$

Resolviendo tenemos.

$A \times B = i\left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{y}& a_{z} \\b_{y}& b_{z}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right| - j\left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{x}& a_{z} \\b_{x}& b_{z}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right| + k\left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{x}& a_{y} \\b_{x}& b_{y}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right|$

Entonces vamos a sustituir con tus vectores sabiendo que el vector que nos quede de resolver el determinante es el producto cruz y tendrá la forma.

$A=a_{x}i + a_{y}j + a_{z}k$

$i = \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{y}& a_{z} \\b_{y}& b_{z}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right|$

$j = - \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{x}& a_{z} \\b_{x}& b_{z}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right|$

$k = \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>a_{x}& a_{y} \\b_{x}& b_{y}</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right|$

$i = \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p> - 12& 9 \\4& 3</p><p></p><p>\end{array} </p><p></p><p>\right| = ( - 12)(3) - (4)(9) = - 72$

$j = - \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>15&9 \\5& 3</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right| = - (45 - 45 )= - 0 = 0$

$k = \left|</p><p></p><p>\begin{array}{cc}</p><p></p><p>15& - 12\\5& 4</p><p></p><p>\end{array}</p><p></p><p>\right| = (15)(4) - (5)( - 12) = 60 + 60 = 120$

Cómo podemos ver el producto cruz nos da como resultado un vector diferente al vector cero.

$A \times B = - 72i + 0j + 120k$

$A \times B = (-72,0,120)$

Por lo que podemos concluir no son colineales.