Question

Resolver lo siguiente :

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Vectores

$\textbf{Problema :}$

Se muestra un triángulo equilátero $\triangle \textrm{MNP}$ donde $\textrm{H}$, $\textrm{I}$ y $\textrm{J}$ son los puntos medios de $\overline{\textrm{MP}}$, $\overline{\textrm{MN}}$ y $\overline{\textrm{NP}}$, respectivamente. Si se verifica $\overrightarrow{\textrm{HN}} = m \cdot \overrightarrow{\textrm{MN}} + n \cdot \overrightarrow{\textrm{JP}} + \overrightarrow{\textrm{RG}}$ determine $\dfrac{m}{n}$.

RESOLUCIÓN

Elegimos convenientemente la longitud del lado de nuestro triángulo equilátero y posteriormente ubicamos nuestro sistema de coordenadas tal que $\textrm{H}$ sea el origen de coordenadas y además que los ejes $\textrm{X}$ e $\textrm{Y}$ se encuentren en $\overline{\textrm{MP}}$ y $\overline{\textrm{HN}}$ respectivamente. Diremos que la longitud del lado del triángulo equilátero es $24$, esto lo hacemos con el objetivo de facilitar nuestros cálculos.

Como $\textrm{H}$ es punto medio de $\overline{\textrm{MP}}$ entonces $\textrm{MH} = \textrm{HP} = 12$ por tanto $\textrm{M} = (-12\ ;\ 0)$ y $\textrm{P} = (12\ ;\ 0)$.

Usando la fórmula para hallar el punto medio de un segmento podemos obtener la coordenada de $\textrm{J}$, la cual es $\textrm{J} = (6\ ;\ 6 \sqrt{3})$. Tome en cuenta que $\textrm{J}$ es punto medio del segmento $\overline{\textrm{NP}}$, al mismo tiempo $\textrm{R}$ es punto medio del segmento $\overline{\textrm{HJ}}$, esto se puede demostrar aprovechando que el segmento $\overline{\textrm{HJ}}$ es paralelo al segmento $\overline{\textrm{MN}}$ y que además la medida del ángulo $\angle \textrm{MPI}$ es $30$. Una vez demostrado que $\textrm{R}$ es punto medio del segmento $\overline{\textrm{HJ}}$ podemos hallar su coordenada, siendo $\textrm{R} = (3\ ;\ 3 \sqrt{3})$.

Ahora notemos que el punto $\textrm{G}$ es el baricentro del triángulo $\triangle \textrm{MNP}$. Entonces $\textrm{NG} = 2 \textrm{GH}$ y como $\textrm{NH} = 12 \sqrt{3}$, entonces $\textrm{GH} = 4 \sqrt{3}$, por ende $\textrm{G} = (0\ ;\ 4 \sqrt{3})$

En resumen :

$\textrm{H} = (0\ ;\ 0)$

$\textrm{M} = (-12\ ;\ 0)$

$\textrm{N} = (0\ ;\ 12 \sqrt{3})$

$\textrm{P} = (12\ ;\ 0)$

$\textrm{J} = (6\ ;\ 6 \sqrt{3})$

$\textrm{R} = (3\ ;\ 3 \sqrt{3})$

$\textrm{G} = (0\ ;\ 4 \sqrt{3})$

Ahora representaremos los vectores usando la representación cartesiana de un vector.

$\overrightarrow{\textrm{HN}} = ( 0\ ;\ 12\sqrt{3} )$

$\overrightarrow{\textrm{MN}} = ( 12\ ;\ 12\sqrt{3} )$

$\overrightarrow{\textrm{JP}} = ( 6\ ;\ -6\sqrt{3} )$

$\overrightarrow{\textrm{RG}} = ( -3\ ;\ \sqrt{3} )$

Según el problema :

$\overrightarrow{\textrm{HN}} = m \cdot \overrightarrow{\textrm{MN}} + n \cdot \overrightarrow{\textrm{JP}} + \overrightarrow{\textrm{RG}}$

Hacemos la sustitución y la igualdad nos quedará de esta forma :

$( 0\ ;\ 12 \sqrt{3} ) = m \cdot ( 12\ ;\ 12 \sqrt{3} ) + n \cdot ( 6\ ;\ -6 \sqrt{3} ) + ( -3\ ;\ \sqrt{3} )$

$( 0\ ;\ 12 \sqrt{3} ) = ( 12m\ ;\ 12m \sqrt{3} ) + ( 6n\ ;\ -6n \sqrt{3} ) + ( -3\ ;\ \sqrt{3} )$

$( 0\ ;\ 12 \sqrt{3} ) - ( -3\ ;\ \sqrt{3} ) = ( 12m\ ;\ 12m \sqrt{3} ) + ( 6n\ ;\ - 6n \sqrt{3} )$

$(3\ ;\ 11 \sqrt{3} ) = ( 12m\ ;\ 12m \sqrt{3} ) + ( 6n\ ;\ - 6n \sqrt{3} )$

$(3\ ;\ 11 \sqrt{3} ) = (12m + 6n\ ;\ 12m \sqrt{3} - 6n \sqrt{3})$

Con ello, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones :

$\boldsymbol{\textrm{(I)}}\ \ \ 12m+6n = 3 \\ \\ \boldsymbol{\textrm{(II)}}\ \ \ 12m \sqrt{3} - 6n \sqrt{3} = 11 \sqrt{3}$

Siendo la solución $m = \dfrac{7}{12}$ y $n = \dfrac{-2}{3}$.

Entonces $\dfrac{m}{n} = \dfrac{-7}{8}$

RESPUESTA

$\boxed{\dfrac{m}{n} = \dfrac{-7}{8}}$