Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las gráficas de f(x)=x^2+2 y la recta g(x)=x+4. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.
Respuestas
Respuesta:
Hola Chuchoverdolaga. La respuesta a tu pregunta sobre el volúmen del ´solido de revolución generado al girar el área encerrada por f(x) = x²+2 y g(x) = x+4 alrededor del eje y , es:
V = (9π)/2
Explicación paso a paso:
La primera decisión que hay que tomar aquí es la de tomar dx o dy para hacer el planteamiento del problema. En este caso, por razones de comodidad, tomaremos dx ya que así no tendremos que hacer ninguna modificación en las funciones.
Bajo estas condiciones, el volúmen de revolución que se forma viene dado por la expresión
V = 2π∫x(g(x)-f(x))dx; siendo
f(x) = x²+2
g(x) = x+4
Los límites de integración será x=-1 y x=2 que son los correspondientes puntos de corte que delimitan al área que rotará alrededor del eje y
Planteamos la integral
V = 2π∫x((x+4)-(x²+2))dx = 2π∫x(x+4-x²-2)dx = 2π∫(x²+4x-x³-2x)dx
V = 2π∫(-x³+x²+2x)dx al resolver esta integral el volúmen será
V = 2π(-x4/4 + x³/3 +x²) que al ser evaluada en los puntos x=-1 y x=2 dará como solución
V = (9π)/2
Espero haberte ayudado