Question

El número de términos comprendidos entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Hallar la diferencia, el número de términos y la suma de ellos.

Answer 1

La diferencia es 4

El número de términos: 15

La suma de los términos: 465

Justificación paso a paso:

La diferencia o razón de la interpolación es:

d = $\frac{b - a}{x + 1}$

En el que:

b es el último término

a es el primer término

x es el número de términos aritméticos a interpolar

- El número de términos a interpolar entre 23 y 59, es x:

d = $\frac{59 - 23}{x + 1}$

- El número de términos a interpolar entre 3 y 23 es x/2

d = $\frac{23 - 3}{\frac{x}{2} + 1}$

Igualamos ambas ecuaciones en d:

$\frac{59 - 23}{x + 1}$ = $\frac{23 - 3}{\frac{x + 2}{2} }$

$\frac{36}{x + 1}$ = $\frac{20}{\frac{x + 2}{2} }$

$\frac{36}{x + 1}$ = $\frac{40}{x +2}$

Simplificando el numerador por 4:

$\frac{9}{x + 1}$ = $\frac{10}{x + 2}$

9(x + 2) = 10(x + 1)

9x + 18 = 10x + 10

9x − 10x = 10 − 18

−x = −8

x = 8 es el número de términos a interpolar entre 23 y 59

* El número de términos a interpolar entre 3 y 23 es x/2

$\frac{x}{2} = \frac{8}{2} = 4$

4 es el número de términos a interpolar entre 3 y 23

Por tanto el número de términos, n, será la suma de x , x/2 y los términos dados:  3, 23 y 59:

n = 4 + 8 + 3 = 15

Para calcular la diferencia, sustituimos x en:

d = $\frac{59 - 23}{x + 1}$

d = $\frac{36}{8 + 1}$

d =  $\frac{36}{9}$

d = 4

Calculamos la suma, sabemos que:

$Sn = \frac{a1 + an}{2} x n$

En nuestro caso:

$Sn = \frac{a1 + an}{2} x 15$

$Sn = \frac{3 + 59}{2} x 15$

Sn = 31 × 15

Sn = 465