En una moneda cargada la probabilidad de obtener un cara es 0,2 y la de obtener un sello 0,8. Se lanza esta moneda cuatro veces y se define la variable aleatoria X: número de sellos obtenidos
Probabilidad de obtener 1 sello, 2 sello, 3 sello o 4 sello
Respuestas
Solución: probabilidad de que salga un sello es 0.0064, probabilidad de que salgan 2 sellos es 0.1536, la probabilidad de que salgan 3 sellos es 0.4096, la probabilidad de que salgan 4 sellos es 0.4096. También aunque no lo solicitan encontramos la probabilidad de que no salga ningún sello y es 0.0016
Explicación:
La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran es la multiplicación de probabilidad de cada evento, al lanzar la moneda cada evento es independiente a la otra, pues si salio cara en un resultado este no influye en el siguiente.
La probabilidad de obtener un sello:
Si sale un solo sello, puede pasar que salio: SCCC, CSCC, CCSC, CCCS. Supongamos que el sello sale la primera vez que se lanza la moneda, entonces debe salir las próximas veces que se lance la moneda cara, cara, cara.
Por lo tanto la probabilidad de que salga un sello la primera vez y 3 caras luego es:
0.8*0.2*0.2*0.2 = 0,0064
Ahora si repetimos nuevamente, pero saliendo sello la segunda vez, y el resto cara. Luego saliendo sello la tercera vez y el resto cara y por ultimo saliendo las primeras 3 veces cara y por ultimo sello. Obtenemos que la probabilidad de que salga un sello es:
P(X= 1) = 4*0.0064= 0,0256
Probabilidad de que salgan 2 sellos:
Las posibilidades son: SSCC, CCSS, CSSC, SCCS, SCSC, CSCS son 6 casos. Calculamos la probabilidad del primer caso (igual que hicimos anteriormente y multiplicamos por 6):
0.8*0.8*0.2*0.2 = 0.0256
P(X=2) = 6*0.0256 = 0.1536
Probabilidad de que salgan tres sellos:
Las posibilidades son: SSSC, CSSS, SCSS, SSCS, son 4 casos. Calculamos la probabilidad del primer caso y multiplicamos por 4:
0.8*0.8*0.8*0.2 = 0,1024
P(X= 3) = 4*0.1024 = 0.4096
Probabilidad de que salgan 4 sellos:
Hay una sola posibilidad y es que salga SSSS, calculamos la probabilidad de 4 eventos independientes:
P(X=4) = 0.8*0.8*0.8*0.8 = 0.4096
Por ultimo (aunque no lo pide el ejercicio) calculemos la probabilidad de que no salga ningún sello, esto seria que saliera CCCC:
P(X=0)= 0.2*0.2*0.2*0.2 = 0,0016
A manera de comprobación si sumamos todas las probabilidades del espacio muestral, debemos obtener que es igual a 1:
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) =
0.0016+0,0256+0,1536+0.4096+0.4096 = 1