Question

Un tanque cilíndrico con 7 m de diámetro se está llenando con agua a razón de 0.4 m 3/min. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de agua?

Answer 1

La ecuación que nos ayuda a calcular el volumen de un cilindro es la siguiente.

$V=π {r}^{2} h$

Donde

π=constante

r=radio

h=altura

Podemos recaudar algunos datos del problema.

$D = 7m$

$\frac{dv}{dt} = 0.4\frac{ {m}^{3} }{min}$

Donde

D=diámetro

dv/dt=velocidad con la que cambia el volumen con respecto al tiempo.

Ahora lo que debemos hacer es derivar la ecuación de volumen con respecto al tiempo.

Nota. Podemos encontrar el radio con la relación entre el diámetro de la siguiente forma.

D=2r

r=D/2

r=(7m)/2

r=3.5 m

Ahora a derivar

$V=π {r}^{2} h$

$\frac{dv}{dt} = \pi( {r}^{2} \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt})$

nota:

Se usa la ecuación para derivar un producto de funciones.

$\frac{d(u(x)v(x))}{dx} = u(x) \frac{dv(x)}{x} + v(x) \frac{du(x)}{x}$

Y aparte la regla de la cadena.

$\frac{d(f(g(x))}{x} = \frac{d(f(g(x))}{g(x)} \frac{d(g(x))}{x}$

Ahira podemos ver la ecuación que encontramos derivando y podemos ver que datos tenemos.

$\frac{dv}{dt} = \pi( {r}^{2} \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt})$

r=3.5 [m]

dv/dt= 0.4 [m³/min]

h=no la conocemos.

dh/dt= es lo que nos piden calcular

dr/dt=d(3.5)/dt=0 (por ser constante)

Ahora podemos despejar "dh/dt" de la ecuación por qué es lo que nos piden.

para ellos es conveniente sustituir datos.

$0.4 \frac{ {m}^{3} }{min} = \pi( {(3.5m)}^{2} \frac{dh}{dt} + 2(3.5m)(h)(0))$

podemos simplificar.

$0.4 \frac{ {m}^{3} }{min} = \pi{(3.5m)}^{2} \frac{dh}{dt}$

y ahora despejar.

$\frac{dh}{dt} = \frac{ 0.4\frac{ {m}^{3} }{min} }{\pi{(3.5m)}^{2} }$

Ahora podemos encontrar el valor numérico.

$\frac{dh}{dt} = 0.102583 \frac{m}{min}$

Esa sería la respuesta, espero haberte ayudado.

Answer 2

La altura del agua en el cilindro se está incrementando a 0.4 m/min.

¿Qué es un tanque cilíndrico?

Es un objeto geométrico en forma de cilindro, que tiene una base circular y una tapa circular, que se utiliza para almacenar líquidos y gases.

Por lo general, estos tanques están construidos de:

• Acero inoxidable
• Fibra de vidrio
• Polietileno o polipropileno

Las ventajas un tanque cilíndrico son:

• Mayor capacidad de almacenamiento de líquidos en comparación con un tanque cúbico de igual volumen.
• Mayor resistencia a la presión interna debido a la forma cilíndrica.
• Mayor estabilidad estructural en comparación con un tanque cúbico de igual volumen.

Aprender más acerca de un tanque cilíndrico aquí: https://brainly.lat/tarea/10155381

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