Question

En una progresión geométrica la suma de los seis términos es 28 veces la suma de los tres últimos. Halla la razón.
a)1/2
b)1/5
c)1/3
d)1/4

Answer 1

Respuesta:

C: 1/3

Explicación paso a paso:

(Para agilizar, voy a usar a1 es $a_{1}$)

El problema dice que:

a1+a2+a3+a4+a5+a6=28(a4+a5+a6)

Aplico propiedad distributiva en el lado derecho:

a1+a2+a3+a4+a5+a6=28a4+28a5+28a6

Ahora paso a restar a la izquierda lo que está sumando a la derecha e igualo a cero la operación

a1+a2+a3+a4+a5+a6-28a4-28a5-28a6=0

Reduzco términos semejantes y obtengo:

a1+a2+a3-27a4-27a5-27a6=0

Paso las cantidades negativas a sumar al lado derecho:

a1+a2+a3=27a4+27a5+27a6

Factorizo con factor común la expresión del lado derecho:

a1+a2+a3=27(a4+a5+a6)

Ahora, atendiendo a las propiedades de las progresiones geométricas, tenemos que:

$a_{2}=a_{1}*r\\a_{3}=a_{1}*r^{2}\\a_{4}=a_{1}*r^{3}\\a_{5}=a_{1}*r^{4}\\a_{6}=a_{1}*r^{5}$

Sustituimos con dichos valores en la igualdad:

$a_{1}+a_{1}*r+a_{1}*r^{2}=27(a_{1}*r^{3}+a_{1}*r^{4}+a_{1}*r^{5})$

Sacamos como factor común a1 en ambos lados de la igualdad y lo eliminamos:

$(1+r+r^{2})=27(r^{3}+r^{4}+r^{5})$

Pasamos a dividir el segundo factor de la derecha, a la izquierda:

$\frac{(1+r+r^{2})}{(r^{3}+r^{4}+r^{5})}=27$

Factorizamos el denominador con $r^{3}$ como factor común

$\frac{1(1+r+r^{2})}{r^{3}(1+r+r^{2})}$

Eliminamos el factor que está igual en el numerador y en el denominador:

$\frac{1}{r^{3}}=27\\despejamos\\r^{3}=\frac{1}{27}\\r=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}\\r=\frac{1}{3}$

Esa es la razón. Opción c