Question

En una caja cubica caben exactamente 8 esferas de 2 pulgadas de diámetro cada una y en el centro de estas una esfera menor que las anteriores. Calcular el volumen, en pulgadas cubicas, de la esfera que esta en el centro de la caja y de las 8 esferas

Answer 1

Respuesta:

Si en una caja cubica caben exactamente 8 esferas de 2 pulgadas de diámetro cada una y en el centro de estas una esfera menor que las anteriores. El volumen, en pulgadas cubicas, de la esfera que esta en el centro de la caja y de las 8 esferas es de $\frac{4}{3}\pi(5\sqrt{2}-7) in^{3}$

Explicación paso a paso:

En la caja caben 8 esferas, para que se adapten a un cubo se ordenen 2x2x2=8. Quiere decir que la caja tiene una longitud de 4 pulgadas de lado.

Centrándonos en un cuadrado en el centro de la caja 2x2 pulgadas (figura) y se calcula la diagonal de ese cuadrado para hallar el radio de la esfera pequeña.

$d=\sqrt{2^{2}+2^{2}} =\sqrt{8} in$

Entonces el radio "r" será:

$r=\frac{\sqrt{8}-2}{2}=\sqrt{2}-1 in$

El volumen de la esfera será:

$\frac{4}{3}\pi \,{r}^{3}=\frac{4}{3}\pi \, \left( \sqrt {2}-1 \right) ^{3}$

$\frac{4}{3}\pi((\sqrt{2})^3-3(\sqrt{2})^2(1)+3(\sqrt{2})(1)^2-(1)^3)$ binomio al cubo

$\frac{4}{3}\pi(2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1)$ simplificando

$\frac{4}{3}\pi(5\sqrt{2}-7) in^3$ términos semejantes