ABCDEF hexágono regular de lado 2√3. AKHG y FGIJ cuadrados congruentes. Compare las áreas de los triángulos △AFG Y △GHI.
Respuestas
Respuesta:
El área del triángulo AFG es de 1.7341 unidades cuadradas.
El área de tu triángulo GHI es de 1.7320 unidades cuadradas.
Son muy parecidos, y podrás tener varianzas por los decimales utilizados en tu procedimiento.
Explicación paso a paso:
Se observa la figura. Lo primero que se observa es que todo sale de un hexágono. Este hexágono dice que tiene de lado 2√3 (algo así como 3.464)
Si vemos el triángulo formado por los vértices AFG, el lado AF mide el lado del hexágono ¿Cierto?, o sea, 3.464.
Ya tenemos un lado: AF= 3.464
Ahora, en sus vértices F y A, hay un cuadrado que es vecino de este triángulo. Es decir, este cuadrado "le quitó" 90 grados al vértice A y F del total que no sabemos.
Pero podemos saberlo con los ángulos interiores de un polígono. Hay una fórmula que dice que los ángulos interiores de una figura poligonal, es igual a las suma de sus lados, menos dos, por 180.
O sea : lados-2 (180).
En el hexágono: 6-2 (180) = 4 (180) = 720.
720 grados deben sumar todos los vértices. Entonces de uno solo:
720/6 =120°
Ya tenemos entonces que los ángulos F y A de nuestro triángulo AFG miden 120 - 90(de cada cuadrado) = 30°
Entonces, este triángulo AFG tiene su ángulo A= 30°, su ángulo F=30°. Y como un triángulo debe sumar 180 sus ángulos, el ángulo G debe medir 120°
El triángulo ya tiene varios datos: tenemos sus tres ángulos y la longitud de uno de sus lados (AF, 3.464)
Con estos datos ya podemos desarrollar una fórmula para obtener la longitud de sus lados restantes.
Elegiremos la ley de los senos. ¿Porqué? porque esta aplica cuando tenemos como datos al menos el valor de un lado y de dos ángulos adyacentes a este lado. Y es nuestro caso.
La ley del seno dice:
A/SEN A = B/SEN B = C/SEN C
Tenemos que elegir dos de estos términos para compararlos. ¿Cuál? el que tengamos más datos.
Primero vaciamos los datos de nuestro triángulo
A= ?
ángulo A= 30°
B=?
ángulo B= 30°
C= 2 √3 = 3.464
ángulo C= 120°
A primera vista, observamos que en nuestros datos los valores de lado C y ángulo C los tenemos completos. Este será un término que elegiremos. ¿Y cuál otro? Bueno, vemos que en el caso de A y B tenemos un dato. Podemos elegir el que sea en este caso.
Elegiré el lado FG que sería B según los datos.
Entonces, aplicando esta ley de los senos, así se desarrolla.
B/SEN B = C/SEN C
B/ SEN 30 = 2 √3 / SEN 20
Se hace una multiplicación cruzada para igualar..
B(SEN 20) = 2 √3 (SEN 30)
B(0.8660) = 2 √3 (0.5) **Con calculadora el seno
0.8660 B= 1.7321 **Y despejas..
B = 1.7321/0.8660 = 2
B=2.
FG o también llamado B en nuestro triángulo es igual a 2.
Ahora, si te fijas, FG es igual a GA, porque ambos están limitados por un cuadrado exactamente igual. Entonces GA también es igual a 2.
Ya tienes todos tus lados del triángulo:
lado 1= 2 √3 = 3.464
lado 2 =2
lado 3= 2
Tienes dos lados iguales y uno diferente. Es un triángulo isósceles. Entonces, la fórmula del área para este tipo de triángulos es:
b * √(a² - b²/4) / 2 **Donde a es el valor de uno de los lados iguales y
b es el valor del lado diferente
Y Sustituyes...
[3.464 * √ (2² - 3.464²/4)] /2 =
[3.464 * √4- 11.99/4)] /2=
[3.464 * √4-2.9975)] /2=
= 1.73416. Esta es el área de tu triángulo AFG.
Ahora, pasamos al triángulo GHI. Este será mucho más fácil porque vemos que es un triángulo equilátero y que su lado mide lo mismo que FG, o sea 2.
El área, sabiendo que cada lado mide 2, la calculamos:
Fórmula: √3/4 (lado al cuadrado)
Y reemplazamos: √3/4 (4)
= 1.7320. Esta es el área de tu triángulo GHI.
Espero te haya servido.
***Este ejercicio ya se lo había compartido a otro usuario, pero igual, va de nuevo! :)