1) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
2) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse CINCO personas en una fila de butacas?
3) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
4) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
5) Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
6) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
7) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de la selección salvadoreña de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
8) Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Respuestas
Problemas obre permutaciones y combinaciones
Cn,k = n!/k!(n-k)!
Pn,k = n!/(n-k)!
Explicación paso a paso:
1) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
Combinación:
n = 5 números
k= 3 cifras
C5,3 = 5!/3!(5-3)! = 10
10 números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5
2) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse cinco personas en una fila de butacas?
Permutacion: importa las posiciones
n = 5
k= 5
P5,5 = 5!/1! = 5*4*3*2*1 = 120
De 120 formas distintas pueden sentarse cinco personas en una fila de butacas
3) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
Permutacion: importa las posiciones
n = 8
k= 8
P8,8 = 8!/1! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40.320
De 40.320 formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda
4) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
Si los números fuesen diferentes, el número de formas de ordenar los 9 dígitos serían:
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5*4 *3 * 2 * 1 = 362.880
Pero como el 2 se repite tres veces, el 3 cuatro veces y el 4 dos veces:
Entonces:
2,2,2 → 3 números : 3! = 3*2*1 = 6
3,3,3,3 → 4 números: 4! = 4*3*2*1 = 24
4,4 → 2 números : 2! = 2 *1 = 2
9!/(3!*4!*3!) = 362.880/(6*24*2) = 1260
Se pueden formar 1260 numeros
5) Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
Palabra con o sin sentido que comiencen con vocal con la palabra libro:
P5,4 = 5*4*3*2*1 = 120 palabras
6) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Como hay 5 cifras impares (1, 3, 5, 7, 9) y el número ha formar es de 5 cifras también, entonces es una permutación, así:
P(5) = 5! = 120 números
Para saber cuántos son mayores a 70000:
Primero, encontramos cuántos números de 5 cifras empiezan con 7. Si de 1, 3, 5, 7, 9 sacamos el 7 nos quedarían sólo el 1, 3, 5, 9, entonces 4!=24.
Luego, encontramos cuantos números empiezan con 9.
Si de 1, 3, 5, 7, 9 sacamos el 9, nos quedará el 1, 3, 5, 7 entonces: 4!=24.
Sumando ambos resultados 24+24=48.
48 números son mayores a 70000.
7) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de la selección salvadoreña de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?
Como hay uno que no permute ( el portero) solo seria una permutacion de 10 jugadores
P10= 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3.628.800
Pero debes de considerar que 11 jugadores (es decir un equipo de fútbol) se pueden colocar en cualquiera de los dos lugares de la chancha.
Por lo tanto la permutacion sera
P = 2*10! = 7.257.600
8) Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Porque un lugar esta destinado a ser fijo ya que el secretario debe estar siempre al lado del presidente, entonces tenemos 7 lugares y 7 personas.
P 7! =5040
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Explicación paso a paso:
Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1 2 3 4 y 5