Question

*Problemas de Funciones*
AYUDA, AGRADECERIA LA EXPLICACION PASO A PASO:

Una compañía exportadora de mariscos, empaca el marisco en marquetas con forma de prisma de base rectangular. Para el empaque necesita fabricar moldes con láminas rectangulares de 42 cm de largo por 32 cm de ancho cortando cuadrados iguales en cada una de las cuatro esquinas y después haciendo dobleces como se muestra en la secuencia de la figura.

¿De qué tamaño debe de ser sellado del cuadrado que se va a cortar para que el molde ocupe la mayor cantidad de marisco?

Answer 1

El volumen de la caja es V = (32 - 2 x) (42 - 2 x) . x

Quitamos paréntesis:

V = 4 x³ - 148 x² + 1344 x

Hay una restricción para x: 32 - 2 x > 0

Implica 0 < x < 16

En el gráfico se observa que el volumen máximo se obtiene para x = 6 cm y vale 3600 cm³

Para hallarlo analíticamente se requiere conocimientos de Cálculo

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda derivada es negativa en los puntos críticos.

Derivamos dos veces:

V' = 8 x² - 296 x + 1344

V'' = 16 x - 296

Punto crítico: 8 x² - 296 x + 1344 = 0

Ecuación de segundo grado: resulta x = 6

La otra solución es mayor que 16; queda fuera del dominio de V

Para x = 6, V'' = 16 . 6 - 296 = - 200, negativa. Hay máximo en x = 6

El volumen máximo es:

V = 4 . 6³ - 148 . 6² + 1344 . 6 = 3600 cm³

Mateo