Question

El mecanismo más usado para convertir movimientos angulares en movimientos lineales y viceversa es llamado manivela-biela-corredera. Suponga que la manivela OA gira con velocidad angular constante de 6 rev/s. La manivela tiene una longitud de 10 cm y la biela de 45 cm. Calcule la velocidad y la aceleración angular de la biela cuando el ángulo entre la manivela y la horizontal es 30 grados.

Answer 1

Datos

ω= 6 rev/s

fragmento:

OA= 10 cm⇒ 0,1 m

AC= 45 cm ⇒ 0,45 m

como la velocidad angular es constante ω=6 rev/s la aceleración angular es 0

Convertimos rev en rad

6 rev/s*(2π rad)/(1 rev)=12π rad→12π=37,7 rad/s

Buscamos la forma funcional entre las variables cinemáticas

 

Al fragmento OA lo llamaremos C y al fragmento AC lo llamaremos b

Emplearemos el teorema del coseno para hallar la forma funcional entre las variables cinemáticas

 

(1)

b^2=c^2+x^2-2cx cos⁡θ

La velocidad es la variación temporal de la posición por lo tanto derivamos la ecuación anterior y obtenemos la ecuación de velocidad

(db^2)/dt=(dc^2)/dt+(dx^2)/dt-d/dt (2cx cos⁡θ )

b^2  y c^2son constates por lo tanto su derivada es 0

0=0+2x dx/dt-2c dx/dt  cos⁡θ+2cx dθ/dt  sin⁡θ  (recordemos que velocidad es v=dx/dt y velocidad angular es ω=dθ/dt)

Por lo tanto, nuestra ecuación de velocidad es:  

(2)

0=2xv_c-2cv_c  cos⁡θ+2cxω_OA  sin⁡θ

v_c: velocidad  

ω_OA: velocidad angular

Tomamos la variación temporal de la ecuación (2) (la aceleración se define como la variación temporal de la velocidad)

d0/dt=d/dt (2x〖   v〗_c )-d/dt (2cv_c  cos⁡θ )+d/dt (2cxω_OA  sin⁡θ )  

→0=2 dx/dt v_c+2x dv/dt-2c[dv/dt  cos⁡θ+v_c  dθ/dt  sin⁡θ ]+2c[dx/dt ω_OA (-sin⁡θ )+x dω/dt  sin⁡θ+xω_OA  dθ/dt  cos⁡θ ]

Por lo tanto, nuestra ecuación de aceleración es:

(3)

2〖v_c〗^2+2xa_c-2ca_c  cos⁡θ+4cv_c ω_OA  sin⁡θ+2cx〖ω_OA〗^2  cos⁡θ

a_c: aceleración

Escribimos nuestras tres ecuaciones:

b^2=c^2+x^2-2cx cos⁡θ     (1)

0=2xv_c-2cv_c  cos⁡θ+2cxω_OA  sin⁡θ   (2)

2〖v_c〗^2+2xa_c-2ca_c  cos⁡θ+4cv_c ω_OA  sin⁡θ+2cx〖ω_OA〗^2  cos⁡θ  (3)

Remplazamos b y c en la primera ecuación  

(0,45)^2=(0,1)^2+x^2-2(0,1)x cos⁡30  →  81/400=1/100+x^2-√3/10 x→0=x^2-√3/10 x-77/400

Si observamos con atención podemos ver que podemos despejar X por medio de la ecuación cuadrática

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

Obtenemos los siguientes valores para x

x1=0,377 m

x2=-0,55 m

Remplazamos x en la segunda ecuación y despejamos v_c

Despejado una vez v_c se remplaza en la tercera ecuación y se obtiene la aceleración