Un automóvil, al desplazarse en línea recta, desarrolla una velocidad que varía en el tiempo de acuerdo con la tabla siguiente:
A)en que intervalos de tiempo el movimiento del auto muestra una aceleración?
B)en que intervalos es nula la aceleración?
C)en que intervalo es negativa?
D)en que intervalo de tiempo el movimiento es uniformemente acelerado?
Respuestas
Movimiento rectilíneo
En esta página se comienza el estudio del movimiento rectilíneo. Se debe destacar el concepto de velocidad instantánea, y el cálculo del desplazamiento entre dos instantes cuando se conoce un registro de la velocidad del móvil entre dichos instantes. El movimiento de caída de los cuerpos como ejemplo de movimiento uniformemente acelerado.
Magnitudes cinemáticas
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
<v>=x'−xt'−t=ΔxΔt
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.
v=limΔ t→0ΔxΔt=dxdt
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
2 y 3 s.
2 y 2.1 s.
2 y 2.01 s.
2 y 2.001 s.
2 y 2.0001 s.
Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t <v> m/s
3 46 25 1 25>
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005
... ... ... ... ...
0 20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Δt es x'=5(t+Δt)2+1=5t2+10tΔt+5Δt2+1
El desplazamiento es Δx=x'-x=10tΔt+5Δt2
La velocidad media <v> es
<v>=10t⋅Δt+5⋅Δt2Δt=10t+5⋅Δt
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
v=limΔ t→0<v>=limΔ t→0(10t+5Δt)=10t m/s
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
x=5t2+1 mv=dxdt=10t m/s
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.
<a>=v'−vt'−t=ΔvΔt
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
a=limΔ t→0ΔvΔt=dvdt
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
La velocidad
La aceleración del móvil en función del tiempo.
v=dxdt=6t2−8t m/sa=dvdt=12−8 m/s2