Question

Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.

“Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación del curso de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018.

Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes.

Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3.

Así mismo, se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2.

Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”

Answer 1

Respuesta:

Solucion:

Estudiantes que aprobaron 1.243

Numero de estudiantes que aprobaron la tarea 2 supera 230 al promedio de los que aprobaron la tarea 1 y 3:

Entonces 1243 – 230 = 1013

1013/2 = 506.5 = promedio tarea 1 y 3

506.5 + 230 = 736.5  

736.5 estudiantes aprobaron la tarea 2

El número de estudiantes que aprobaron la tarea 3 es menor a 90 estudiantes del promedio que aprobaron la tarea 1 y 2

1243 – 736.5 = 506.5 estudiantes que aprobaron tarea 1 y 3

506.5 – 90 = 416.5

416.5 / 2 = 208.25

208.25 + 90 = 298.25 estudiantes que aprobaron la tarea 1

208.25  estudiantes que aprobaron la tarea 3

Tarea 1 = 298.25

Tarea 2 = 736.5

Tarea 3 = 298.25

Hasta hay logro llegar hasta el momento, no se aun como plantearlo en un sistema de ecuaciones de gauss jordan ???

Explicación paso a paso:

faltaria el planteamiento por el sistema de gauss jordan

Answer 2

Estudiantes que aprobaron la tarea 1 → "x"

Estudiantes que aprobaron la tarea 2 → "y"

Estudiantes que aprobaron la tarea 3 → "z"

{Recordemos que el promedio es el cociente entre la sumatoria de elementos y la cantidad n-esima de los mismos}

$\boxed{prom=\dfrac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n} }$

Cada párrafo aporta datos para una ecuación, veamos:

El promedio de los estudiantes que entregaron las 3 tareas es de 1243 estudiantes:

$\dfrac{x+y+z}{3}=1243$

 Multipliquemos todo por 3:

x+y+z = 3729 ecuación [1]

Los estudiantes que aprobaron la tarea 2 supera en 230 al promedio de los que aprobaron la tarea 1 y 3:

$y=\dfrac{x+z}{2}+230$

 Multipliquemos todo por 2:

2y = x+z+460

 Restemos "x" y "z" a lado y lado:

2y-x-z = 460

 Reorganizando:

-x+2y-z = 460 ecuación [2]

El número de estudiantes que aprobaron la tarea 3 es menor en 90 al promedio de los que aprobaron la 1 y 2:

$z=\dfrac{x+y}{2}-90$

 Multipliquemos todo por 2:

2z = x+y-180

 Restemos 2z y sumemos 180 a lado y lado:

180 = x+y-2z

 Lo anterior es igual a tener:

x+y-2z = 180 ecuación [3]

================================================

x+y+z = 3729

-x+2y-z = 460

x+y-2z = 180

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones por 3 incógnitas, la representación matricial sería algo como:

$\quad  x\quad y\quad  z\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{matrix} 3729 \\ 460 \\ 180 \end{matrix}$

Luego usando el método de Gauss Jordan (mirar imagen adjunta) se escalona la matriz y se obtiene que:

x = 3449/3

y = 4189/3

z = 1183

Finalmente para verificar la solución del sistema se grafican los tres planos en geogebra y su punto de convergencia (mirar imagen adjunta). Los tres planos se cortan en el punto que obtuvimos por solución, por tanto ese punto es la solución para el sistema.