Question

Me puedes ayudar con estos 2 problemas de límites al infinito?
Con explicación por favor:)

Answer 1

Hola. Veamos:

$\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt{9x^{2}-1}}{2-5x}}$

Dividamos todo sobre x:

$\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\dfrac{\dfrac{\sqrt{9x^{2}-1}}{x}}{\dfrac{2-5x}{x} }}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\dfrac{\dfrac{\sqrt{9x^{2}-1}}{x}}{\dfrac{2}{x}-5}}$

En el numerador se debe hacer un pequeño truco de factor común:

$\sqrt{9x^{2}-1}=\sqrt{x^{2}(9-\frac{1}{x^{2}})}=x\sqrt{9-\frac{1}{x^{2}}$

El límite queda entonces:

$\displaystyle\lim_{x \to{\infty}}{\displaystyle\dfrac{\dfrac{x\sqrt{9-\frac{1}{x^{2}}}}{x}}{\dfrac{2}{x}-5}}=\displaystyle\lim_{x \to{\infty}}{\dfrac{\sqrt{9-\frac{1}{x^{2}}}}{\dfrac{2}{x}-5}}}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to{\infty}}{\sqrt{9-\frac{1}{x^{2}}}}}{\displaystyle\lim_{x \to{\infty}}{\dfrac{2}{x}-5}}}=\dfrac{\sqrt{\displaystyle\lim_{x \to{\infty}}{9-\frac{1}{x^{2}}}}}{0-5}=-\frac{\sqrt{9}}{5}$

El otro límite se hace casi igual, inténtalo si tienes dudas me avisas; saludos.