Question

2 con exponente 2019 + 2 es divisible entre 5

Answer 1

Tarea:

$2^{2019} +2$ ¿es divisible entre 5?

Respuesta:

Sí que será divisible entre 5

Explicación paso a paso:

Para llegar a la solución hay que analizar las terminaciones de las potencias de 2 y veremos lo siguiente:

• 2¹ = 2
• 2² = 4
• 2³ = 8
• 2⁴ = 16
• 2⁵ = 32
• 2⁶ = 64
• 2⁷ = 128
• 2⁸ = 256
• 2⁹ = 512 ...

Date cuenta del detalle de los dígitos en negrita y subrayados. Siguen una secuencia inalterable:  2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2... etc

Ello nos puede valer para deducir que por cada grupo de 4 exponentes consecutivos, en el resultado del primer número del siguiente grupo vuelve a repetirse el primer dígito de la secuencia.

Según eso, si tomamos el exponente 2019 y lo dividimos entre 4 obtenemos un cociente de 504 y un residuo de 3, es decir:

2019 = 4 × 504 + 3

Así pues, si efectuamos el producto  4×504 = 2016

Eso nos dice que 2²⁰¹⁶  nos dará un número terminado en 6 ya que es el dígito que aparece el cuarto en la secuencia deducida arriba de cada uno de los grupos que se nos forman, ok?

Por lo tanto ya deduzco que:

• 2²⁰¹⁶ = un número acabado en 6
• 2²⁰¹⁷ = un número acabado en 2
• 2²⁰¹⁸ = un número acabado en 4
• 2²⁰¹⁹ = un número acabado en 8

Si...  2²⁰¹⁹ = un número acabado en 8 y le sumamos 2 unidades según el texto de la tarea, el número resultante acabará en 0 y por tanto, por la regla de divisibilidad del 5 sabemos que sí será divisible por este número.

Saludos.