Question

por favor ayudenme a resolverlo​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Productos Notables

$\textbf{Problema 42 :}$

Sabiendo que $x^{2} y^{2} = b$ y $x^{6}-y^{6} = a^{3} + 3ab$ , determine $x^{2} - y^{2}$.

RESOLUCIÓN

Digamos que $\textrm{E} = x^{2} - y^{2}$, entonces elevemos al cubo el valor de $\textrm{E}$.

$\textrm{E} ^{3} = (x^{2}-y^{2})^{3} = x^{6} - y^{6} -3x^{2} y^{2} (x^{2}-y^{2})$

Identificando obtenemos :

$\textrm{E} ^{3} = a^{3}+3ab -3b (\textrm{E})$

Ahora hacemos lo siguiente.

$\textrm{E}^{3} - a^{3} - 3ab +3b(\textrm{E}) = 0$

$(\textrm{E}-a)(\textrm{E}^{2}+a\textrm{E} + a^{2}) -3ab +3b(\textrm{E}) = 0$

$(\textrm{E}-a)(\textrm{E}^{2}+a\textrm{E} + \textrm{E}^{2}) + 3b(\textrm{E}-a) = 0$

$(\textrm{E}-a)(\textrm{E}^{2}+a\textrm{E} + a^{2} + 3b) = 0$

Aplicando el Teorema del Factor llegamos a la siguiente conclusión.

$\textrm{E} -a = 0\ \Rightarrow\ \textrm{E} = a$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{E} = a}$

$\textbf{Problema 43 :}$

El resto de la división $\dfrac{(x-4)^{n}+n(n-2)}{x-3}$es igual a $2$, encuentre entonces el valor de $n$.

RESOLUCIÓN

Empecemos con la introducción a un teorema propuesto por Rene Descartes.

$\textbf{Teorema del Resto}$

$\textrm{Sea la divisi\'on}\ \dfrac{P_{(x)}}{a(x) +b}\ \textrm{entonces el valor del residuo es}\ P_{(\dfrac{-b}{a})}$

Entonces si tenemos la división $D_{(x)} = \dfrac{(x-4)^{n}+n(n-2)}{x-3}$ podemos obtener su resto evaluando para $x = 3$, además por dato el valor del residuo es $2$.

$P_{(x)} = (x-4)^{n}+n(n-2)$

$P_{(3)} = (3-4)^{n}+n(n-2) = 2$

$P_{(3)} = (-1)^{n}+n(n-2) = 2$

Notemos que el valor de $(-1)^{n}$ depende de la paridad de $n$.

Consideremos que $n$ es par, como consecuencia $(-1)^{n} = 1$.

$1+n(n-2) = 2$

$n(n-2) = 1 \\ \\ n^{2} - 2n - 1 = 0$

Esta última ecuación no tiene solución entera, entonces probemos ahora para un valor de $n$ impar.

Consideremos que $n$ es impar, como consecuencia $(-1)^{n} = -1$.

$-1+n(n-2) = 2$

$n(n-2) = 3 \\ \\ n^{2} - 2n - 3 = 0 \\ \\ (n-3)(n+1)=0$

Solamente validamos el valor impar de $n$ que cumpla con la última ecuación, es decir $n = 3$.

RESPUESTA

$\boxed{n = 3}$

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