Question

se desea cercar con dos vueltas de alambre y de manera rectangular un terreno lindante con un rió. si el lado que da al rió no lleva cerca y se dispone de 140 m. de alambre. que dimensiones debe tener la cerca para que la área sea máxima y cual es dicha área?

Answer 1

Respuesta:

Área máxima= 612.5 m2

Dimensiones de la cerca: 35 m el lado largo. Cada lado del ancho 17.5 m

Explicación paso a paso:

Este es un problema de optimización. Vamos a usar derivadas.

Tenemos 140 m para dos vueltas, es decir 70 metros para una vuelta.

Vamos a trabajar con la longitud de una vuelta, que es 70 m, porque el área va a ser la misma así cerquemos con una, dos, tres, cuatro o más vueltas de alambre. Esto porque el problema nos habla de área, no de perímetro.

Se trata de un rectángulo. Al lado opuesto al río, es decir a su paralelo o sea al largo, lo llamamos Y

A cada uno de los otros dos lados los llamaremos X (son del ancho)

Vamos a cercar 3 lados. Entonces planteamos: 2X+Y=70 ...(1)

Si el área del rectángulo es A=l*a, entonces A=X*Y  ...(2)

Para trabajar con el área necesitamos que sea en función de una sola variable. Entonces despejamos Y en  (1)

Y=70-2X

Ahora reemplazamos Y en (2) y con eso logramos que el área solamente quede en función de X, es decir:  $A_{(x)}$

$A_{(x)}=X(70-2X)=70X-2x^{2}$

Como el problema nos pide área máxima, usamos la derivada:

$A'_{(x)}=70*1-2(2X)^{2-1}$

$A'=70-4X$

Ahora igualamos a cero

0=70-4X

pasamos 4X al otro lado, con signo +

4X=70

X=70/4

X=17.5  (Con este valor hemos encontrado la raíz)

Ahora, para encontrar el máximo, usamos la segunda derivada, del área:

$A''_{(x)}=0-4=-4$

Para evaluar, recordemos que si da menor que cero se trata de un máximo:

$A''_{(17.5)}=-4$

Tenemos un máximo. Con eso valor voy a la fórmula inicial y reemplazo:

A=X(70-2X)

A=17.5(70-2*17.5)

A=17.5(70-35)

A=17.5*35=612.5 m2

Ahora, para responder la pregunta sobre las dimensiones de la cerca:

612.5m2= 17.5m * L    (L es el largo)

L=612.5m2/17.5m

L=35m

La cerca debe tener, su lado largo 35m y cada uno de los otros dos lados 17.5 m

Verifiquemos con lo que dice el problema:

Una vuelta: 35 de largo + 2*17.5 de ancho = 35+35=70

Las dos vueltas: 70 * 2 = 140 metros, tal como lo dice el problema