Se tienen las fuerzas (F_1 ) ⃗,(F_2 ) ⃗,y (F_3 ) ⃗ con las siguientes características:
(F_1 ) ⃗ sigue la dirección AG y tiene magnitud 35 N aplicada en G
(F_2 ) ⃗ sigue la dirección CE y tiene magnitud 15 N aplicada en C
(F_3 ) ⃗ sigue la dirección DA y tiene magnitud 25 N aplicada en D
Calcular:
Las fuerzas (F_1,) ⃗(F_2 ) ⃗,(F_3 ) ⃗en función de sus coordenadas rectangulares.
Torque de (F_1,) ⃗(F_2 ) ⃗,(F_3 ) ⃗ con respecto a los puntos H con su magnitud y dirección.
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Respuestas
Uso la notación de vectores en forma de ternas ordenadas (x, y, z)
Omito las unidades.
Coordenadas de todos los puntos.
A(-30, 25, -10): B(-30, 25, 0); C(-30, 0, 0): H(-30, 0, -10)
D(30, 0, 0); E(30, 25, -10): F(30, 25, 0; G(30, 0, -10)
Vectores directores de cada fuerza:
F₁: AG = G - A = (30, 0, -10) - (-30, 25, -10) = (60, -25, 0)
F₂; CE = E - C) = (30, 25,-10) - (-30, 0, 0) = (60, 25, -10)
F₃: DA = A - D = (-30, 25, -10) - (30, 0, 0) = (-60, 25, -10)
Los vectores fuerza se obtienen de multiplicar el vector unitario en su dirección con el módulo.
F₁ = 35 (60, -25, 0) / √(60² + 25² + 0²) ≅ (32.2, -13.5, 0) N
F₂ = 15 (60, 25, -10) / √(60² + 25² + 10²) ≅ (3.7, 5.7, -2.3) N
F₃ = 25 (-60, 25, -10) / √(60² + 25² + 10²) ≅ (-22.8, 9.5, -3.8) N
Torques respecto del punto H
Si P es el punto de aplicación del vector fuerza y el centro de torques es el punto Q, entonces:
T(q) = QP x F. siendo x el símbolo del producto vectorial.
T₁ = (60, 0, 0) x (32.3, -3.5, 0) = (0, 0, -810) N m
T₂ = (0, 0, 10) x (13.7, 5.7, -2.3) = (-57, 137, 0) N m
T₃ = (-60, 25, -10) x (-22.8, 9.5, -3.8) = (190, 456, 0) N m
Magnitudes de cada uno de los torques
|T₁| = √(0²+ 0² + 810²) = 810 N m
|T₂| = √(57² + 137² + 0²) ≅ 148 N m
|T₃| = √(190² + 456² + 0²) ≅ 494 N m
Ángulos directores de cada torque α, β, γ
Para T₁:
cosα = 0 / 810 = 0; α = 90°
cosβ = 0 / 810 = 0; β = 90°
cosγ = -810 / 810 = -1; γ = 180°
Para T₂:
cosα = -57 / 148; α = 112.7°
cosβ = 137 / 148; β = 22.2°
cosγ = 0 / 148; γ = 90°
Para T₃:
cosα = 190 / 494; α = 67.4°
cosβ = 456 / 494; β = 22.6°
cosγ = 0 / 494; γ = 90°
He resumido los cálculos auxiliares tales como los productos vectoriales y los ángulos directores directamente sin anotar sus cosenos directores, suponiendo que los sabes desarrollar.
Saludos Herminio.