Question

Se tienen las fuerzas (F_1 ) ⃗,(F_2 ) ⃗,y (F_3 ) ⃗ con las siguientes características:
(F_1 ) ⃗ sigue la dirección AG y tiene magnitud 35 N aplicada en G
(F_2 ) ⃗ sigue la dirección CE y tiene magnitud 15 N aplicada en C
(F_3 ) ⃗ sigue la dirección DA y tiene magnitud 25 N aplicada en D

Calcular:
Las fuerzas (F_1,) ⃗(F_2 ) ⃗,(F_3 ) ⃗en función de sus coordenadas rectangulares.
Torque de (F_1,) ⃗(F_2 ) ⃗,(F_3 ) ⃗ con respecto a los puntos H con su magnitud y dirección.

Answer 1

Uso la notación de vectores en forma de ternas ordenadas (x, y, z)

Omito las unidades.

Coordenadas de todos los puntos.

A(-30, 25, -10): B(-30, 25, 0); C(-30, 0, 0): H(-30, 0, -10)

D(30, 0, 0); E(30, 25, -10): F(30, 25, 0; G(30, 0, -10)

Vectores directores de cada fuerza:

F₁: AG = G - A = (30, 0, -10) - (-30, 25, -10) = (60, -25, 0)

F₂; CE = E - C) = (30, 25,-10) - (-30, 0, 0) = (60, 25, -10)

F₃: DA = A - D = (-30, 25, -10) - (30, 0, 0) = (-60, 25, -10)

Los vectores fuerza se obtienen de multiplicar el vector unitario en su dirección con el módulo.

F₁ = 35 (60, -25, 0) / √(60² + 25² + 0²) ≅ (32.2, -13.5, 0) N

F₂ = 15 (60, 25, -10) / √(60² + 25² + 10²) ≅ (3.7, 5.7, -2.3) N

F₃ = 25 (-60, 25, -10) / √(60² + 25² + 10²) ≅ (-22.8, 9.5, -3.8) N

Torques respecto del punto H

Si P es el punto de aplicación del vector fuerza y el centro de torques es el punto Q, entonces:

T(q) = QP x F. siendo x el símbolo del producto vectorial.

T₁ = (60, 0, 0) x (32.3, -3.5, 0) = (0, 0, -810) N m

T₂ = (0, 0, 10) x (13.7, 5.7, -2.3) = (-57, 137, 0) N m

T₃ = (-60, 25, -10) x (-22.8, 9.5, -3.8) = (190, 456, 0) N m

Magnitudes de cada uno de los torques

|T₁| = √(0²+ 0² + 810²) = 810 N m

|T₂| = √(57² + 137² + 0²) ≅ 148 N m

|T₃| = √(190² + 456² + 0²) ≅ 494 N m

Ángulos directores de cada torque α, β, γ

Para T₁:  

cosα = 0 / 810 = 0; α = 90°

cosβ = 0 / 810 = 0; β = 90°  

cosγ = -810 / 810 = -1; γ = 180°

Para T₂:  

cosα = -57 / 148; α = 112.7°

cosβ = 137 / 148; β = 22.2°  

cosγ = 0 / 148; γ = 90°

Para T₃:  

cosα = 190 / 494; α = 67.4°

cosβ = 456 / 494; β = 22.6°

cosγ = 0 / 494; γ = 90°

He resumido los cálculos auxiliares tales como los productos vectoriales y los ángulos directores directamente sin anotar sus cosenos directores, suponiendo que los sabes desarrollar.

Saludos Herminio.