La figura muestra cinco círculos grandes de 1 cm de radio con centros en A B C D y O; cuatro círculos pequeños de igual radio que tienen puntos en común con tres de los círculos grandes, ¿cuál es la medida del radio del círculo con centro en E? porfavorrr ayudaaaa es para mañana doy 99 puntos
Respuestas
Respuesta:
r = (√2 - 1) cm
Explicación paso a paso:
como se observa en la figura, los cuatro centros de los círculos A,B,C y D forman un cuadrado, en dicha figura sus cuatro lados son iguales y para este caso se puede deducir para cualquiera de ellos que L vale
L = 2cm + d
donde d es el diámetro de cualquiera de los círculos naranjas por lo también representa el diámetro del circulo con centro en E
ahora se va a emplear el teorema de pitagoras para calcular el diámetro d
se va a expresar el teorema para el triangulo rectángulo ADB
L² + L² = DB² (1)
como se trata de un cuadrado, al dividirlo con la diagonal DB se forman dos triángulos rectángulos de igual base y altura que valen L.
el valor de la diagonal DB se se deduce del gráfico, observar que dicha diagonal es la suma de los radios de los círculos con centro en B y D, mas el diámetro del circulo con centro en O, por lo tanto
DB = 1cm + 2cm + 1cm = 4cm
reemplazando el valor de DB en la expresión (1) se tiene
L² + L² = (4cm)²
2L² = 16cm²
L² = 8cm²
L = √8cm que también se puede expresar como
L = 2√2 cm
pero como L = 2cm + d se tendría
2cm + d = 2√2 cm se despeja d
d = 2√2 cm - 2cm
d = 2(√2 - 1) cm
como se nos pide el radio se debe dividir al diámetro d por 2, es decir
r = d/2 donde r es el radio no solo del circulo con centro en E, sino también de los restantes círculos naranjas
entonces
r = 2(√2 - 1)cm/2 ⇒ r = (√2 - 1) cm ⇒ r ≅0,41 cm